《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第21讲 双曲线（学生版）

3.0 cande 2025-05-11 13 4 1.12MB 16 页 3知币
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第 21 讲 双曲线
真题展示
2022 新高考一卷第 21 题
已知点 在双曲线 上，直线 交 于 ， 两点，直线 ，
的斜率之和为 0．
（1）求 的斜率；
（2）若 ，求 的面积．
知识要点整理
知识点一　双曲线的定义
1．定义：平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．
3．焦点：两个 .
4．焦距： 的距离，表示为|F1F2|.
知识点二　双曲线标准方程
焦点位置 焦点在 x轴上 焦点在 y轴上
图形
标准方程 －＝1( ) －＝1( )
焦点
a，b，c的关系 c2＝
知识点三　双曲线的性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围 x ≥ a
或
x ≤ － a y ≤ － a
或
y ≥ a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中 c＝
a，b，c间的关系 c2＝
(c>a>0，c>b>0)
知识点四　等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是
，离心率为.
知识点五　直线与双曲线的位置关系
设直线 l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线 C：－＝1(a>0，b>0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即 k＝±时，直线 l与双曲线 C的渐近线平行，直线与双曲线 ．
(2)当b2－a2k2≠0，即 k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；
Δ<0⇒直线与双曲线有 0
个公共点．
知识点六　弦长公式
若斜率为 k(k≠0)的直线与双曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝.
试题亮点
圆锥曲线是高中数学中重要且基本的学习内容，同时也是高考考查的重点．
试题分步设问，逐步推进，注重对基本概念、基本方法的考查，考查内容由浅
入深，层次分明，重点突出，能很好地引导中学数学教学回归教材，试题对考
生的逻辑推理、直观想象等数学核心素养，以及灵活地应用解析几何的基本方
法将问题合理转化的能力有一定的要求.因此，试题不仅有利于高校选拔人才，
也有利于中学教学创新，对培养学生数学学科核心素养有积极的引导作用.
三年真题
1．已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与 C的两条渐近线分别交于 A，B两点，点 在 C上，且 ．
过P且斜率为 的直线与过 Q且斜率为 的直线交于点 M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
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