《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第21讲 双曲线（教师版）

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第 21 讲 双曲线
真题展示
2022 新高考一卷第 21 题
已知点 在双曲线 上，直线 交 于 ， 两点，直线 ，
的斜率之和为 0．
（1）求 的斜率；
（2）若 ，求 的面积．
【思路分析】（1）将点 代入双曲线方程得 ，由题显然直线 的斜率存
在，设 ，与双曲线联立后，根据直线 ， 的斜率之和为 0，求解即
可 ； （ 2） 设 直 线 的 倾 斜 角 为 ， 由 ， 得 ， 联 立
，及 ，根据三角形面积公式即可求解．
【解析】（1）【解法一】(常规设法)：将点 代入双曲线方程得 ，
化简得 ， ，故双曲线方程为 ，
由题显然直线 的斜率存在，设 ，设 ， ， ，
则联立双曲线得： ，
故 ， ，
，
化简得： ，
故 ，
即 ，当 m+2k−1=0 时，直线 l：y=kx−2k+1 过点 A，不合题意，
舍去.,故 ；
【解法二】解法二(平移变换+齐次化):
利用坐标平移变换 将坐标原点平移到 ，
设新坐标系下直线 的方程为 ，
双曲线的方程为：
即 ，
则化齐次联立，得
即 ，
两边同时除以 ，得 ，
方程的两根即为直线 的斜率，
即 ，故直线 的斜率为
.
【解法三】（齐次化）：
仿法一得双曲线方程为 ，设 ，
∵AP,AQ 的斜率之和为 0，∴ ，
故将双曲线方程为 变形为： ，
且设直线 ，
由 式有：
,（两边同除以 ），
即 ，而 是此方程的两根。
∴ ，故直线 斜率为−1.
（2）【解法一】(计算 AP、AQ)：设直线 的倾斜角为 ，则∠PAQ=2α 或
2α−π，
由 ， ，得 或− ，
当 时，
∵ ， ，得 ，即 ，
联立 ，及 得 ，
代入直线 得 ，故 ，
而 ，
由 ，得 ，
故 ．
当 时，∠PAQ=2α，得 ，仿上得 ，
代入直线 得 ，故 ，
而 ，
由 ，得 ，
故 ．
【 解法 二】 法 二 (计算 弦长 和 高 ) 设AP 的倾斜 角为 α， 则 AQ 的 倾斜 角为
π−α，∠PAQ=2α 或2α−π，
由tan PAQ=2∠有 ，解得 tanα= 或 (舍去，因为
此时直线 AP//双曲线渐近线，P不存在)，取 kAP=，kAQ=，则 AP：
y−1= (x−2)，AQ：y−1= (x−2)，
由 有 由
有
PQ：y=−x+，PQ= = ,A 到PQ 的距离 h= = ，故△PAQ 的
面积为 h= .
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