《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第19讲 空间距离、二面角与空间向量（学生版）

3.0 cande 2025-05-11 17 4 3.08MB 23 页 3知币
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第 19 讲 空间距离、二面角与空间向量
真题展示
2022 新高考一卷第 19 题
如图，直三棱柱 的体积为 4，△ 的面积为 ．
（1）求 到平面 的距离；
（2）设 为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正
弦值．
知识要点整理
知识点一　点 P到直线 l 的距离
已知直线 l的单位方向向量为 u，A是直线 l上的定点，P是直线 l外一点，设向量AP在直线 l
上的投影向量为AQ＝a，则点 P到直线 l的距离为 (如图)．
知识点二　点 P到平面 α的距离
设平面 α的法向量为 n，A是平面 α内的定点，P是平面 α外一点，则点 P到平面 α的距离为
(如图)．
思考　怎样利用向量方法求直线到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离？
答案　两条直线平行，其中一条直线到另一条直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一
条直线的距离；一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一点到这个
平面的距离；两个平面平行，平面到平面的距离就是一个平面上任一点到这个平面的距离．
知识点三　两个平面的夹角
平面 α与平面 β的夹角：平面 α与平面 β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不
大于 90° 的二面角称为平面 α与平面 β的夹角．
知识点四　 空间角的向量法解法
角的分类 向量求法 范围
两条异面
直线所成
的角
设两异面直线 l1，l2 所成的角为 θ，其方
向向量分别为 u，v，则 cos θ＝|
cos〈u，v〉|＝
直线与平
面所成的
角
设直线 AB 与平面 α所成的角为 θ，直线
AB 的方向向量为 u，平面 α的法向量为
n，则 sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝
两个平面
的夹角
设平面 α与平面 β的夹角为 θ，平面 α，β
的法向量分别为 n1，n2，则 cos θ＝|cos
〈n1，n2〉|＝
利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表
示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立
空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的四种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的
放矢，化解自如．
一、利用共顶点的互相垂直的三条棱
例1　在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线 AD1与DB1所成角的余弦值为(
)
A. B. C. D.
反思感悟　本例以长方体为背景，求异面直线所成角．显然可以是从长方体中的共点的三条棱互相垂直关
系处着手，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹
角即可．
二、利用线面垂直关系
例2　如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1中，AB⊥平面 BB1C1C，E为棱 C1C的中点，已知 AB＝，BB1＝2，BC
＝1，∠BCC1＝.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标．
反思感悟　空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅
速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有 0，也为后续的运算带来了方便．本题已知条件中的
垂直关系“AB⊥平面 BB1C1C”，可作为建系的突破口．
三、利用面面垂直关系
例3　如图，四边形 ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为
PQ，AB，BC 的中点，则异面直线 EM 与AF 所成角的余弦值是________．
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