《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第19讲 空间距离、二面角与空间向量（教师版）

3.0 cande 2025-05-11 15 4 10.04MB 64 页 3知币
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第 19 讲 空间距离、二面角与空间向量
真题展示
2022 新高考一卷第 19 题
如图，直三棱柱 的体积为 4，△ 的面积为 ．
（1）求 到平面 的距离；
（2）设 为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正
弦值．
【思路分析】（1）利用柱与锥的体积关系求得三棱锥的体积，再由等体积法求
点 到平面 的距离；
（2）以 为坐标原点， ， ， 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直
角坐标系，利用向量法可求二面角 的正弦值．
【解析】（1）由直三棱柱 的体积为 4，可得 ，
设 到平面 的距离为 ，由 ，
， ，解得 ．
（2）【解法一】(面面垂直性质+坐标法)：由直三棱柱 知 平面
，又 BB1平面 ，
所以平面 平面 ，又平面 平面 ，又平面 平面 ，
所以 平面 ， ， ，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标
系，
， ，又 ，解得 ，
则 ，0， ， ，2， ， ，0， ， ，2， ， ，1， ，
则 ，2， ， ，1， ， ，0， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，令 ，则 ， ，
平面 的一个法向量为 ，0， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
，令 ，则 ， ，
平面 的一个法向量为 ，1， ，
， ，
二面角 的正弦值为 ．
【解 法二 】法二 (定义法 )：直 三棱柱 ABC-A1B1C1中，AA1=AB ，则 四边形
ABB1A1是正方形，
连接 AB1、A1B，则 AB1A⊥1B，
又平面 A1BC⊥平面 ABB1A1，平面 A1BC∩平面 ABB1A1=A1B，A1B平面
ABB1A1，
∴AB1⊥平面 A1BC，又 BC 平面 A1BC，∴AB1BC⊥，
在直三棱柱 ABC-A1B1C1中 ， BB1⊥平 面 ABC ，BC 平 面
ABC，∴BB1BC⊥，
又AB1, BB1平面 ABB1A1，AB1∩BB1=B1，∴BC⊥平面 ABB1A1，
又AB 平面 ABB1A1，∴BC AB⊥。
设AB=A1A=a，BC=b，则 a×ab=4，ab=2 ，解得 a=b=2.
设AB1∩A1B=O，由 AB1⊥平面 A1BC，知 AO⊥平面 A1BC，由(1)知AO=
，
在平面 ABD 中，过 A作AE BD⊥于E，连接 OE，则 BD⊥平面 AEO，从
而BD OE⊥，
故∠AEO 是二面角 A-BD-C 的补角的平面角，
△ABD 中，可求得 AD=BD= ，又 AB=2，由等面积法可得 AE= ，
∴Rt AEO△中，sin AEO=∠= .即二面角 A-BD-C 的正弦值为 .
【试题评价】本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题．
知识要点整理
知识点一　点 P到直线 l 的距离
已知直线 l的单位方向向量为 u，A是直线 l上的定点，P是直线 l外一点，设向量AP在直线 l
上的投影向量为AQ＝a，则点 P到直线 l的距离为 (如图)．
知识点二　点 P到平面 α的距离
设平面 α的法向量为 n，A是平面 α内的定点，P是平面 α外一点，则点 P到平面 α的距离为
(如图)．
思考　怎样利用向量方法求直线到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离？
答案　两条直线平行，其中一条直线到另一条直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一
条直线的距离；一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一点到这个
平面的距离；两个平面平行，平面到平面的距离就是一个平面上任一点到这个平面的距离．
知识点三　两个平面的夹角
平面 α与平面 β的夹角：平面 α与平面 β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不
大于 90° 的二面角称为平面 α与平面 β的夹角．
知识点四　 空间角的向量法解法
角的分类 向量求法 范围
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