《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第18讲 解三角形（教师版）

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第 18 讲 解三角形
真题展示
2022 新高考一卷第 题
记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ．
（1）若 ，求 ；
（2）求 的最小值．
【思路分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出 ．
（2）利用诱导公式把 用 表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即
可得出结论．
【解析】（1）【解法一】(交叉相乘)： ，
，
化为： ， ，
， ， ，
， ．
【解法二(半角公式)：由诱导公式及二倍角公式可得
，
由 二 倍 角 公 式 得 ， ∵ ， ∴ tan
=tanB，
又(−∈)，B (0,π)∈， ∴ =B ， 即 A= 2B ， 从 而 C=
+B，又 C= ，∴ +B= ，解得 B= .
（2）【解法一】(统一为 C)：由（1）可得： ， ， ，
，
为钝角， ， 都为锐角， ．A= >0，得 ，
，
，当且仅当
时取等号．
的最小值为 ．
【 解 法 二 】 法 二 (统 一 为 B) ： 由 (1) 知A= −2B (0,π)∈，B (0,π)∈，C=
+B (0,π)∈，解得，B (0, ∈)，从而 cosB (∈,1),
由 正 弦 定 理 得 =
−5≥4 −5, 当 且 仅 当 4 = ，=
时取等号。
故 的最小值为 4 −5。
【试题评价】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理 、
基本不等式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
考查目标
试题将考生熟悉的解三角形作为命题情境.解三角形本质上是在三角形内蕴方
程（三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理）的基础上，把试题设
定的条件（方程）与内蕴方程建立联系，从而求得三角形的全部或者部分度量
关系.试题考查正弦定理、三角函数两角和公式、二倍角公式等基础知识；同时
以三角函数为载体，考查了均值不等式的应用．试题考查内容强调基础，服
务"双减".
试题考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，以及理性思维、数学探索等学
科素养．试题考查的内容是解三角形的重点知识，涉及的最值求解问题也是学
生常见的形式，符合基础性、综合性的考查要求.
知识要点整理
知识点一　余弦定理
在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，则有
余弦
定理
语言
叙述
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平
方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的
两倍
公式
表达
a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝a 2
＋ c 2
－ 2 ac cos B ，
c2＝a 2
＋ b 2
－ 2 ab cos C
推论
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝
知识点二　解三角形
一般地，三角形的三个角 A，B，C和它们的对边 a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的
几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
知识点三　正弦定理
条件 在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为
a，b，c
结论 ＝＝
文字叙述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比
相等
知识点四　三角形中边与角之间的关系
1．利用余弦定理和正弦定理进行边角转化
(1)cos A＝；cos B＝；cos C＝.
(2)2Rsin A＝a，2Rsin B＝b，2Rsin C＝c，(其中 R为△ABC 外接圆的半径)
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