《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第17讲 数列的通项、求和及数列不等式的证明（学生版）

3.0 cande 2025-05-11 17 4 348.96KB 13 页 3知币
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第 17 讲 数列的通项、求和及数列不等式的证明
真题展示
2022 新高考一卷第 17 题
记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）证明： ．
试题亮点
试题以考生熟悉的等差数列为载体而设计，但不是通常的给定等差数列求
通项、求和等常规操作，而是将等差数列的性质融合在前 n项和与通项的关系
之中，特别是第（2）问中的数列的求和运算涉及裂项相消．试题源于教材、其
创新思想又高于教材，充分体现高考的选拔功能.试题对高中数学教学具有指导
作用，要求考生在强化基本功的同时，加强对知识的灵活运用，形成学科素养.
知识要点整理
数列求和问题
数列求和是数列问题中的基本题型，是数列部分的重点内容，在高考中也占据重要地位，它具有复杂
多变、综合性强、解法灵活等特点．数列求和的方法主要有公式法、分组转化法、倒序相加法、错位相减
法、裂项相消法、并项求和法等．
一、公式法求和
例1　求数列 1,3＋5,7＋9＋11,13＋15＋17＋19，…的前 n项和．
反思感悟　公式法求和中的常用公式有
(1)等差、等比数列的前 n项和
①等差数列：Sn＝na1＋d(d为公差)或Sn＝.
②等比数列：Sn＝其中 q为公比．
(2)四类特殊数列的前 n项和
①1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．
②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
③12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
④13＋23＋33＋…＋n3＝n2(n＋1)2.
二、分组转化法求和
例2　求和：Sn＝2＋2＋…＋2(x≠0)．
反思感悟　某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比
数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．
三、倒序相加法求和
例3　设 F(x)＝，求 F＋F＋…＋F.
反思感悟　(1)倒序相加法类比推导等差数列的前 n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反
序)，再把它与原数列相加，就可以得到 n个(a1＋an)．
(2)如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求其和可以用倒序相加法．
四、裂项相消法求和
例4　求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N*.
延伸探究
求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N*.
反思感悟　(1)对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用
此法，可用待定系数法对通项公式拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．
(2)常见的拆项公式有
①＝－.
②＝.
③＝.
④＝－.
⑤＝.
五、错位相减法求和
例5　已知{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且 a1＝1，b1＝3，a2＋b2＝7，a3＋b3＝11.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，n∈N*，求数列{cn}的前 n项和 Tn.
反思感悟　一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前 n项和时，可采用错位
相减法求和，在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出
“Sn－qSn”的表达式．
六、并项求和法求和
例6　求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．
反思感悟　通项中含有(－1)n的数列求前 n项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进
行求和．
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