《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第17讲 数列的通项、求和及数列不等式的证明（教师版）

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第 17 讲 数列的通项、求和及数列不等式的证明
真题展示
2022 新高考一卷第 17 题
记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）证明： ．
【思路分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步
利用放缩法的应用求出结果．
【解析】（1）解：【解法一】(隔项累乘法)：已知 ， 是公差为 的等差
数列，
所以 ，整理得 ，①，
故当 时， ，②，
① ②得： ，
故 ，
化简得： ， ， ， ， ， ， ；
所以 ，
故 （首项符合通项）．所以 ．
【解法二】(王安寓补解)(相邻累乘)：仿法一得 ,
∴= 1× = ,
显然 n=1 时=1 适合上式，故 = .
【解法三】(王安寓补解)(构造常数列)：仿法一得(n−1) =(n+1) ,
即n(n−1) =(n+1)n , ,故{ }是常数列，∴ =，
∴= .
（2）证明：由于 ，
所以 ，
所以 ．
【试题评价】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求
法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力
和数学思维能力，属于中档题．
试题亮点
试题以考生熟悉的等差数列为载体而设计，但不是通常的给定等差数列求
通项、求和等常规操作，而是将等差数列的性质融合在前 n项和与通项的关系
之中，特别是第（2）问中的数列的求和运算涉及裂项相消．试题源于教材、其
创新思想又高于教材，充分体现高考的选拔功能.试题对高中数学教学具有指导
作用，要求考生在强化基本功的同时，加强对知识的灵活运用，形成学科素养.
知识要点整理
数列求和问题
数列求和是数列问题中的基本题型，是数列部分的重点内容，在高考中也占据重要地位，它具有复杂
多变、综合性强、解法灵活等特点．数列求和的方法主要有公式法、分组转化法、倒序相加法、错位相减
法、裂项相消法、并项求和法等．
一、公式法求和
例1　求数列 1,3＋5,7＋9＋11,13＋15＋17＋19，…的前 n项和．
解　所求数列的前 n项中共有 1＋2＋3＋4＋…＋n＝个连续的奇数，这些奇数组成等差数列，首项为 1，公
差为 2，故该数列的前 n项和
Sn＝×1＋×××2
＝＋
＝2
＝.
反思感悟　公式法求和中的常用公式有
(1)等差、等比数列的前 n项和
①等差数列：Sn＝na1＋d(d为公差)或Sn＝.
②等比数列：Sn＝其中 q为公比．
(2)四类特殊数列的前 n项和
①1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．
②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
③12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
④13＋23＋33＋…＋n3＝n2(n＋1)2.
二、分组转化法求和
例2　求和：Sn＝2＋2＋…＋2(x≠0)．
解　当x≠±1 时，
Sn＝2＋2＋…＋2
＝＋＋…＋
＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋
＝＋＋2n
＝＋2n；
当x＝±1 时，Sn＝4n.
综上可知，
Sn＝
反思感悟　某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比
数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．
三、倒序相加法求和
例3　设 F(x)＝，求 F＋F＋…＋F.
解　∵F(x)＋F(1－x)＝＋＝1，
∴F＋F＝F＋F＝…＝1.
设F＋F＋…＋F＝S，
∴S＝×2S＝×2 020＝1 010.
反思感悟　(1)倒序相加法类比推导等差数列的前 n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反
序)，再把它与原数列相加，就可以得到 n个(a1＋an)．
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