《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第16讲 椭圆（学生版）

3.0 cande 2025-05-11 10 4 785.81KB 13 页 3知币
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第 16 讲 椭圆
真题展示
2022 新高考一卷第 16 题
已知椭圆 ， 的上顶点为 ，两个焦点为 ， ，离心率
为 ．过 且垂直于 的直线与 交于 ， 两点， ，则 的周长是
13 　 ．
考查目标
直线、椭圆及相关几何量的计算是中学数学的必备知识.试题巧妙地将直线
与椭圆的位置关系及有关度量的计算结合在一起，设计的问题既体现了基础性
又具有挑战性.试题对考生的化归与转化、逻辑推理等方面的能力提出了较高的
要求，有效地考查了考生的理性思维、数学探索等方面的数学学科素养，考查
了考生的运算求解、逻辑思维等方面的关键能力.
试题亮点
试题对解析几何知识综合应用的考查做了很好的设计. 从试题的简单情景中
应用椭圆的定义去分析问题、解决问题，可以体现考生思维的灵活性 .试题具有
较好的创新性与开放性，有诸多亮点. 试题的题设条件简洁，问题深入，既体现
了数学之美，又体现了逻辑推理的重要性.考生在判断出△AF，F，为正三角形
后进一步选择解题路径，这对考生准确灵活运用所学知识解决问题的能力、运
用数形结合以及化归与转化等数学思想方法提出了较高要求．试题有效考查了
考生的运算求解能力、逻辑思维能力和创新能力，以及理性思维、数学应用、
数学探索等数学科素养.试题具有较好的开放性，给不同思维层次的考生提供了
发挥的空间.考生可以采用不同的解题路径和方法.比如，考生可以利用对称性解
决。
知识要点整理
知识点一　椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．焦点：两个定点 F1，F2.
3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝ (常数)且2a |F1F2|.
知识点二　椭圆的标准方程
焦点在 x轴上 焦点在 y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标 F1( －
c ， 0) ， F 2( c ， 0)
F1(0 ，－
c ) ， F 2(0 ， c )
a，b，c的关
系b 2
＝ a 2
－ c 2
知识点三　椭圆的简单几何性质
焦点的位
置焦点在 x轴上 焦点在 y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 － a ≤ x ≤ a ，－
b ≤ y ≤ b
－ b ≤ x ≤ b ，－
a ≤ y ≤ a
顶点
A1( －
a ， 0) ， A 2( a ， 0) ，
B1(0 ，－
b ) ， B 2(0 ， b )
A1(0 ，－
a ) ， A 2(0 ， a ) ，
B1( －
b ， 0) ， B 2( b ， 0)
轴长 短轴长＝2 b ，长轴长＝2 a
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |F1F2|＝2
对称性 对称轴：x
轴、 y
轴 　对称中心：原点
离心率 e＝∈(0,1)
知识点四　直线与椭圆的位置关系
直线 y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立
消去 y得到一个关于 x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次
方程解的个数及 Δ的取值的关系如表所示．
直线与椭圆 解的个数 Δ的取
值
两个不同的公
共点 两解 Δ>0
一个公共点 一解 Δ＝0
没有公共点 无解 Δ<0
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