《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第16讲 椭圆（教师版）

3.0 cande 2025-05-11 19 4 3.64MB 49 页 3知币
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第 16 讲 椭圆
真题展示
2022 新高考一卷第 16 题
已知椭圆 ， 的上顶点为 ，两个焦点为 ， ，离心率
为 ．过 且垂直于 的直线与 交于 ， 两点， ，则 的周长是
13 　 ．
【思路分析】根据已知条件，先设出含 的椭圆方程，再结合三角形的性质，以
及弦长公式，求出 的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解．
【解析】【解法一】(转化+定义): 椭圆 的离心率为 ，
不妨可设椭圆 ， ，
的上顶点为 ，两个焦点为 ， ，
△ 为等边三角形，
过 且垂直于 的直线与 交于 ， 两点，
，
由等腰三角形的性质可得， ， ，
设直线 方程为 ， ， ， ， ，
将其与椭圆 联立化简可得， ，
由韦达定理可得， ， ，
，解得 ，
由椭圆的定义可得， 的周长等价于 ．
故答案为：13．
【解法二】 (验证中点)：仿法一得 a=2c,b= c,仿法一由 DE=6 算出 c= 从而
a= .
如图，连接 E，D，易知 A的中点为 M( ,DE：y= (x+c)，显
然M在直线 DE，即 DE 是A的垂直平分线，从而 AE=E ，AD=D ，故
△ADE 的周长为 AD+AE+DE=D +E +DE= D +E + D +E =4a=13.
【解法三】(硬算+巧开方)：由椭圆的离心率为 可得 a=2c，从而 b= c，椭圆
方程化为 3 +4 =12 ，A(0, c),取 为椭圆的左焦点， 为椭圆的右焦点，
易得 A的斜率为− ，故 DE 的斜率为 ，DE 的方程为 y= (x+c)，代入椭
圆方程并整理得 13 +8cx−32 =0，设 D( , ),E( , ),则+ = ，
=− ,
于是 DE= = = =6，解得 c= ，
此 时 13 +13x− =0 ，解得 x=， 取 D( ,
),E( , )，A(0, ),
AD= = ,AE=
= ,
设223+84 = ，则 解得 m=14，n=3，
故AD= ，同理 AE= ，
故AD+AE=7，△ADE 的周长为 AD+AE+DE=13.
【解法四】 (硬算+巧平方)：仿上得到 AD、AE 的长度，设 t=
+， 则 =446+2 =446+2
=446+2×189=784= ,故t=28，AD+AE=7.下同法三。
【解法五】(极坐标方程): ，则设 ，
由焦点弦公式，可知 即 ，
由椭圆的定义可得， 的周长等价于 ．
故答案为：13．
【试题评价】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力 ，
属于中档题．
考查目标
直线、椭圆及相关几何量的计算是中学数学的必备知识.试题巧妙地将直线
与椭圆的位置关系及有关度量的计算结合在一起，设计的问题既体现了基础性
又具有挑战性.试题对考生的化归与转化、逻辑推理等方面的能力提出了较高的
要求，有效地考查了考生的理性思维、数学探索等方面的数学学科素养，考查
了考生的运算求解、逻辑思维等方面的关键能力.
试题亮点
试题对解析几何知识综合应用的考查做了很好的设计. 从试题的简单情景中
应用椭圆的定义去分析问题、解决问题，可以体现考生思维的灵活性 .试题具有
较好的创新性与开放性，有诸多亮点. 试题的题设条件简洁，问题深入，既体现
了数学之美，又体现了逻辑推理的重要性.考生在判断出△AF，F，为正三角形
后进一步选择解题路径，这对考生准确灵活运用所学知识解决问题的能力、运
用数形结合以及化归与转化等数学思想方法提出了较高要求．试题有效考查了
考生的运算求解能力、逻辑思维能力和创新能力，以及理性思维、数学应用、
数学探索等数学科素养.试题具有较好的开放性，给不同思维层次的考生提供了
发挥的空间.考生可以采用不同的解题路径和方法.比如，考生可以利用对称性解
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