《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第15讲 用导数的几何意义研究曲线的切线（学生版）

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第 15 讲 用导数的几何意义研究曲线的切线
真题展示
2022 新高考一卷第 15 题
若曲线 有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是 　 ，
， 　．
知识要点整理
用导数求切线方程的四种类型
求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于
求出切点 及斜率，其求法为：设 是曲线 上的一点，则以
的切点的切线方程为： ．若曲线 在点 的切线平
行于 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为 ．
下面例析四种常见的类型及解法．
类型一：已知切点，求曲线的切线方程
此类题较为简单，只须求出曲线的导数 ，并代入点斜式方程即可．
例1　曲线 在点 处的切线方程为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．
例2　与直线 的平行的抛物线 的切线方程是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用
待定切点法．
例3求过曲线 上的点 的切线方程．
评注：可以发现直线 并不以 为切点，实际上是经过了点
且以 为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，
解决此类问题可用待定切点法．
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．
例4　求过点 且与曲线 相切的直线方程．
评注：点 实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切
位置，充分反映出待定切点法的高效性．
例5　已知函数 ，过点 作曲线 的切线，求此切线方程．
评注：此类题的解题思路是，先判断点 A是否在曲线上，若点 A在曲线上，
化为类型一或类型三；若点 A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．
2、求圆锥曲线的切线
在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。例如，圆的切线定义为与圆
只有一个交点的直线，但把这一定义用到其他曲线上就不行了。如直线
y=0
与
抛物线
y=x2
只有一个交点，
y=0
是
y=x2
的切线，但
x=0
与抛物线
也只有
一个交点，但
x=0
却不是
y=x2
的切线，由此可见，用“一个交点”来定义切线
并不能用于所有曲线。而学了微积分的知识后，就可以给出曲线切线的一般定
义了。
切线的定义：设
m0
是曲线
y=f(x)
上一定点，
m
是该曲线上的一动点，从而
有割线
m0m
，令
m
沿着曲线无限趋近于
m0
，则割线
m0m
的极限位置就是曲线
y=f(x)
在
m0
的切线（如果极限存在的话）。
这一定义与初等数学中圆的切线定义是一致的（用于讨论圆的切线时），
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