《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第15讲 用导数的几何意义研究曲线的切线（教师版）

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第 15 讲 用导数的几何意义研究曲线的切线
真题展示
2022 新高考一卷第 15 题
若曲线 有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是 　 ，
， 　．
【思路分析】设切点坐标为 ， ，利用导数求出切线的斜率，进而
得到切线方程，再把原点代入可得 ，因为切线存在两条，所以
方程有两个不等实根，由△ 即可求出 的取值范围．
【解析】【解法一】(切线方程)，设切点坐标为 ， ，
切线的斜率 ，
切线方程为 ，
又 切线过原点， ，
整理得： ，
切线存在两条， 方程有两个不等实根，
△ ，解得 或 ，
即 的取值范围是 ， ， ，
故答案为： ， ， ．
【解法二】法二(切线斜率)：设切点为(m,(m+a) )，易得 =(x+a+1) ，则
切线的斜率 k=(m+a+1) = ，即 m(m+a+1)=m+a, +am−a=0，依题
意其有两个不等实根，故△= +4a>0，解得 a<−4 或a>0.
【试题评价】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属
于中档题．
知识要点整理
用导数求切线方程的四种类型
求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于
求出切点 及斜率，其求法为：设 是曲线 上的一点，则以
的切点的切线方程为： ．若曲线 在点 的切线平
行于 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为 ．
下面例析四种常见的类型及解法．
类型一：已知切点，求曲线的切线方程
此类题较为简单，只须求出曲线的导数 ，并代入点斜式方程即可．
例1　曲线 在点 处的切线方程为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：由 则在点 处斜率 ，故所求的切线方程为
，即 ，因而选Ｂ．
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．
例2　与直线 的平行的抛物线 的切线方程是（　　）
Ａ． Ｂ
Ｃ． Ｄ．
解：设 为切点，则切点的斜率为 ．
．
由此得到切点 ．故切线方程为 ，即 ，故选Ｄ．
评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用 法加以解决，即设切线方程
为 ，代入 ，得 ，又因为 ，得 ，故选Ｄ．
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用
待定切点法．
例3求过曲线 上的点 的切线方程．
解：设想 为切点，则切线的斜率为 ．
切线方程为 ．
．
又知切线过点 ，把它代入上述方程，得 ．
解得 ，或 ．
故所求切线方程为 ，或 ，即
，或 ．
评注：可以发现直线 并不以 为切点，实际上是经过了点
且以 为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，
解决此类问题可用待定切点法．
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．
例4　求过点 且与曲线 相切的直线方程．
解：设 为切点，则切线的斜率为 ．
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