《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第14讲 圆与圆的位置关系（教师版）

3.0 cande 2025-05-11 12 4 3.47MB 36 页 3知币
侵权投诉
第 14 讲 圆与圆的位置关系
真题展示
2022 新高考一卷第 14 题
写 出 与 圆 和 都 相 切 的 一 条 直 线 的 方 程 　 （ 填
， 都正确）　．
【思路分析】由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直
线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求．
【解析】【解法一】(特殊点对称法)圆 的圆心坐标为 ，半径 ，
圆 的圆心坐标为 ，半径 ，
如图：
， 两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．
， 的斜率为 ，设直线 ，即 ，
由 ，解得 （负值舍去），则 ；
由图可知， ； 与 关于直线 对称，
联立 ，解得 与 的一个交点为 ，在 上取一点 ，
该点关于 的对称点为 ， ，则 ，解得对称点为 ， ．
，则 ，即 ．
与圆 和 都相切的一条直线的方程为：
（填 ， 都正确）．
故答案为： （填 ， 都正确）．
【解法二】(转化过点的圆切线)：显然两圆的圆心距为 5=1+4，即两圆相外切，
故两圆有三条公切线。
设两圆的圆心分别为 O，M，易得 OM：3y=4x，与圆 O方程联立解得 x=
，y= (只取第一象限)，从而两圆的公切点为 N( ，)，过 N与OM 垂直的
直线方程为 y− = (x− )，即 3x+4y−5=0.此为过 N的两圆的一条公切线。
延长 MO 到P，使得 4 = ，则 P为另两条 公 切 线的交点，且 =
=(−1,− )，
当切线的斜率不存在时，过 P与圆 O相切的直线为 x+1=0，适合题意；
当切线斜率存在时，设切线方程为 y+ =k(x+1)，则由点到直线的距离公式
得=1，解得 k= ，故切线方程为 y+ = (x+1)，即 7x−24y−25=0.
综上，两圆的三条公切线方程为：3x+4y−5=0，x+1=0，7x−24y−25=0。
【解法三】(硬算)：当两圆的公切线斜率不存在时，设切线为 x=m，则|m|=1 且|
m−3|=4，解得 m=−1，故两圆的一条公切线为 x=−1；
当两圆的公切线斜率存在时，设两圆的公切线为 y=kx+b，则 =1，且
=4,联立解得 或 故两圆的公切线方程为
y= x+，y= x。
综上，两圆的三条公切线方程为：x=−1，y= x+，y= x。
【试题评价】本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考
查运算求解能力，是中档题．
考查目标
试题以两个已知圆为背景，通过圆的方程可知两个圆的基本信息以及两个
圆的位置关系，由此可以求出所求公共切线的方程. 试题考查了圆与圆、直线和
圆的位置关系等基本概念，重点考查了考生逻辑推理能力、运算求解能力和综
合运用知识解决问题的能力.试题的解法以通性通法为基础，为不同能力水平的
考生提供了展示空间．如果考生能够将数与形相结合，那么运算过程将更为简
捷.
试题亮点
试题背景来源于教材，考查了直线和圆的基本性质，对平面几何与解析几
何等知识综合应用的考查作了较好的设计.若考生从问题的简单情景中能应用圆
的定义去分析问题，则解答过程会更加简捷，从而体现出考生思维的灵活性．
试题为考生提供的思考角度是多样的，考生可以根据自己的能力水平想到不同
的解题路径和方法．试题对考生的数学运算、逻辑推理等数学学科素养的考查
有较好的体现.
此外，试题具有很好的开放性.考生可以用通性通法求解，但相对而言有些
方法计算会复杂一些．因此，试题突出考查考生的逻辑推理能力，通过"看一
看""推一推""想一想""算一算"，能够对不同思维水平的考生进行区分，全面系
统地考查考生对核心概念、基本原理、基本方法的掌握程度．试题基于数学的
基础知识，但又打破了固有的命题模式.
《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第14讲 圆与圆的位置关系（教师版）.docx

共36页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：cande 分类：高中 价格：3知币 属性：36 页 大小：3.47MB 格式：DOCX 时间：2025-05-11

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 36
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注