《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第13讲 二项式定理 （教师版）

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第 13 讲 二项式定理
真题展示
2022 新高考一卷第 13 题
的展开式中 的系数为 　 　（用数字作答）．
【思路分析】由题意依次求出 中 ， 项的系数，求和即可．
【解析】 的通项公式为 ，
当 时， ，当 时， ，
的展开式中 的系数为 ．
故答案为： ．
【试题评价】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．
知识要点整理
知识点一　二项式定理
(a＋b)n＝C a n
＋ C a n
－
1
b ＋ C a n
－
2
b 2
＋ … ＋ C a n
－
k
b k
＋ … ＋ C b n
(n∈N*)．
(1)这个公式叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有 n ＋ 1
项．
(3)二项式系数：各项的系数 C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
知识点二　二项展开式的通项
(a＋b)n展开式的第 k ＋ 1
项叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1＝C a n
－
k
b k
.
知识点三　二项式系数的性质
对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两
个二项式系数相等，即 C＝C
增减性
与最
大值
增减性：当 k<时，二项式系数是逐渐增大的；当 k>
时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当 n为偶
数时，中间一项的二项式系数 最大；当 n为奇数
时，中间两项的二项式系数 ， 相等，且同
时取得最大值
各二项
式系数
的和
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2 n
；
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2 n
－
1
三年真题
一、单选题
1．若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C．D．
【答案】B
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 ，
故选：B.
2．在 的二项展开式中，第 项的二项式系数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】第 项的二项式系数为 ，
故选：A.
3．在 的展开式中， 的系数为（ ）．
A．B．5 C．D．10
【答案】C
【详解】 展开式的通项公式为： ，
令 可得： ，则 的系数为： .
故选：C.
4． 的展开式中 x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】C
【详解】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 的各项与 展开式的通项的乘积可表示为：
和
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
故选：C
5．（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中 x3的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【详解】由题意得 x3的系数为 ，故选 A．
二、填空题
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