《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第12讲 函数与导数的综合（教师版）

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第 12 讲 函数与导数的综合
真题展示
2022 新高考一卷第 12 题
已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ．若 ，
均为偶函数，则 　　
A．B．C． （4）D． （2）
【思路分析】由 为偶函数，可得 关于 对称，可判断 ； 为
偶函数，可得 ， 关于 对称，可判断 ；由 ， 关于
对称，可得 ，得到 是 的极值点， 也是极值点，从而判断
； 图象位置不确定，可上下移动，故函数值不确定，从而判断 ．
【解析】【解法一】(特殊值验证)： 为偶函数， 可得 ，
关于 对称，
令 ，可得 ，即 （4），故 正确；
为偶函数， ， 关于 对称，故 不正确；
关于 对称， 是函数 的一个极值点， ，
又 关于 对称， ， 是函数 的一个极值点，
关于 对称， 是函数 的一个极值点， ，故 正
确；
图象位置不确定，可上下移动，即没一个自变量对应的函数值是确定值，故
错误．
故选： ．
【解法二】 (导数推导)：由 f( ),g(2+x)均为偶函数，得 f( )=f(
), g(2+x)=g(2−x)，
故f( )=f( ),两边同时求导得− ( )= ( ),即−g(
)=g( ),
∴g(x)关于直线 x=2 对称，且关于点( ,0)对称，从而可得 g(x)的周期为
T=4(2− )=2,
由−g( )=g( )可得−g( )=g( ),即g( )=0，∴g( )= g(
+2)= g( )=0,B 正确；
g(−1)= g(−1+2)=g(1)=g( )=−g( )=−g(2)，D不正确。
由导函数与原函数的关系知函数 f(x)的周期为 2，关于直线 x=对称，关于
点(2，m)对称，若 m=0，则 f(0)=f(2)=0，若 m≠0，f(0)=f(2)≠0，A错误；
由f(x)关于直线 x=对称，得 f(−1)=f( − )=f( + )=f(4)，C正确。
【解法三】(特殊函数)：构造函数 f(x)=sinπx+2，则 g(x)=πcosπx，适合题意条件，
验证选项，A、D错误，B、C正确。
【试题评价】本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方
程思想，属中档题．
考查目标
试题以抽象函数作为背景，考查函数的奇偶性、对称性、周期性等基础知
识.试题考查了考生分析问题的能力和运用函数、导数相关知识解决问题的能力.
作为新高考试卷的压轴选择题，试题紧扣课程标准，力图引导教学，符合基础
性、综合性、应用性、创新性的考查要求．试题将导函数与函数的性质结合，
设计新颖，具有较好的选拔功能.
试题亮点
以往试题中考查抽象函数性质的问题，往往通过特殊值法、单调性、奇偶
性即可得出结论.试题除了考查抽象函数的奇偶性、周期性、对称性，还创造性
地将导函数引入其中，这便成为本题的一大亮点；同时多选题的题型设置也为
不同能力层次的考生提供了发挥的空间．试题源于教材，紧扣课程标准，对考
生的能力能进行很好的区分，具有较好的选拔功能.
知识要点整理
构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与
之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：
（1）直接构造法：证明不等式 f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明 f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，
进而构造辅助函数 h(x)＝f(x)－g(x)；
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－
1，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞0)，≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)；
(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把
不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；
(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调
性与极值点都不易获得，则可构造函数 f(x)和g(x)，利用其最值求解．
方法 高考示例 思维过程
直接构
造法
已知函数 f(x)＝－x＋
aln x.
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在两个极值
点x1，x2，证明：＜a
－2.
……
(2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当 a＞2.由
于f(x)的两个极值点 x1，x2满足 x2－ax＋1＝0(函数在极值
点处的导数为 0)，所以 x1x2＝1.
不妨设 x1＜x2，则x2＞1(注意原函数的定义域)．
由于＝－－1＋a＝－2＋a＝－2＋a，所以＜a－2等价于
－x2＋2ln x2＜0.【关键
1 ：将所证不等式进行变形与化
简】
设函数 g(x)＝－x＋2ln x，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)单调
递减，【关键
2 ：直接构造函数 ， 判断函数单调性】
又g(1)＝0，从而当 x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0，所以－x2
＋2ln x2＜0，即＜a－2.【关键
3 ：结合单调性得到函数最
值 ， 证明不等式】
放缩构
造法
已知函数 f(x)＝aex－ln
x－1.
……
(2)证明：当a≥时，f(x)≥－ln x－1.【关键
1 ：利用不等
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