《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第11讲 抛物线 （学生版）

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第 11 讲 抛物线
真题展示
2022 新高考一卷第 11 题
已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过点 的直线交 于
， 两点，则 　　
A． 的准线为 B．直线 与 相切
C．D．
知识要点整理
一　抛物线的定义
1．定义：平面内与一定点 F和一条定直线 l(不经过点 F)距离相等的点的轨迹．
2．焦点：定点 F.
3．准线：定直线 l.
思考　抛物线的定义中，为什么要加条件 l不经过点 F?
答案　若点 F在直线 l上，点的轨迹是过点 F且垂直于直线 l的直线．
知识点二　抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐
标
准线方
程
x＝－
y 2
＝－
2 px ( p >0) x＝
y＝－
x 2
＝－
2 py ( p >0) y＝
二　抛物线的简单几何性质
标准方
程y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈
Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈
Ry≤0，x∈R
对称轴 x轴x轴y轴y轴
焦点坐
标F F F F
准线方
程x＝－ x＝y＝－ y＝
顶点坐
标O(0,0)
离心率 e＝1
通径长 2p
三　直线与抛物线的位置关系
直线 y＝kx＋b与抛物线 y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于 x的方程组解的个数，
即二次方程 k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若 Δ>0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；若 Δ＝0，直线与
抛物线有一个公共点；若 Δ<0，直线与抛物线 公共点．
当k＝0时，直线与抛物线的轴 ，此时直线与抛物线有 1
个公共点．
四　和抛物线有关的轨迹方程
根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，求动点的轨迹方程．
五　直线和抛物线
1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为 2p.
2．抛物线的焦点弦
过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F的一条直线与它交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①y1y2＝－p2，x1x2＝；
②＝x1＋ x 2＋ p ；
③＋＝.
三年真题
1．设 为抛物线 的焦点， 为该抛物线上三点．若 ，则
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