《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第11讲 抛物线 （教师版）

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第 11 讲 抛物线
真题展示
2022 新高考一卷第 11 题
已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过点 的直线交 于
， 两点，则 　　
A． 的准线为 B．直线 与 相切
C．D．
【思路分析】对于 ，根据题意求得 的值，进而得到准线；对于 ，求出直线
方程，联立直线 与抛物线方程即可得出结论；对于 ，设过点 的直线方
程为 ，联立该直线与抛物线方程，由韦达定理得到两根之和及两根
之积，然后利用两点间的距离公式，结合基本不等式判断选项 ．
【解析】
【解法一】(基本不等式)点 在抛物线 上，
，解得 ，
抛物线 的方程为 ，准线方程为 ，选项 错误；
由于 ， ，则 ，直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，解得方程有两个相等的根 ，故直线 与抛
物线 相切，选项 正确；
根据对称性及选项 的分析，不妨设过点 的直线方程为 ，与抛物线
在第一象限交于 ， ， ， ，
联立 ，消去 并整理可得 ，则 ， ，
，
， 由 于 等 号 在
时才能取到，故等号不成立，选项 正确；
，选项
正确．
故选： ．
【解法二】 (参数方程)：将 A点坐标代入抛物线 C的方程得 2p=1，从而 p=
，C的准线为 y=− ，A错误；
直 线 AB 的方程为 y=2x−1 ，代入抛物线 C的方程得 =2x−1 ， 即
−2x+1=0，判别式△=0，且 AB 不平行于抛物线的对称轴，故 AB 与抛物线 C相
切，B正确；
设直线 PQ 的方程为 (t 为参数，α为直线的倾斜角)，代入抛物
线C的方程得 +1=0, 判别式△=， 即
，
设P、Q对应的参数分别为 、 ，则 + = ，= , |BP|∴|BQ|=
= >5= ，D正确；
|OP|= = = ,
同 理 |OQ|= ， 故 |OP|×|OQ|=
= = =
>2= .C 正确。
【试题评价】本题考查抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的综合运
用，同时还涉及了两点间的距离公式以及基本不等式的运用，考查运算求解
能力，属于中档题．
知识要点整理
一　抛物线的定义
1．定义：平面内与一定点 F和一条定直线 l(不经过点 F)距离相等的点的轨迹．
2．焦点：定点 F.
3．准线：定直线 l.
思考　抛物线的定义中，为什么要加条件 l不经过点 F?
答案　若点 F在直线 l上，点的轨迹是过点 F且垂直于直线 l的直线．
知识点二　抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐
标
准线方
程
y 2
＝ 2 px ( p >0) x＝－
y 2
＝－
2 px ( p >0) x＝
x 2
＝ 2 py ( p >0) y＝－
x 2
＝－
2 py ( p >0) y＝
二　抛物线的简单几何性质
标准方
程y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈
Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈
Ry≤0，x∈R
对称轴 x轴x轴y轴y轴
焦点坐 F F F F
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