《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第10讲 用导数研究函数性质（学生版）

3.0 cande 2025-05-11 13 4 691.23KB 13 页 3知币
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第 10 讲 用导数研究函数性质
真题展示
2022 新高考一卷第 10 题
已知函数 ，则 　　
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线
的切线
试题亮点
试题通过设计适当的函数，将函数的单调性、极值、零点、切线、函数图
像等概念和性质有机地整合到所创设的问题情境中，设问简洁，考查点全面.试
题既注重基础，又能使考生主动探究的能力得到展示.试题着重考查考生的理性
思维素养和数学探究素养，为高校选拔人才提供有效依据.
知识要点整理
一、　函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)内的函数 y＝f(x)：
f′(x)的正负 f(x)的单调性
f′(x)>0 单调递增
f′(x)<0 单调递减
二、　利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数 y＝f(x)的定义域；
(2)求出导数 f′(x)的零点；
(3)用f′(x)的零点将 f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f′(x)在各区间
上的正负，由此得出函数 y＝f(x)在定义域内的单调性．
三、　函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数 y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对
值
函数值变
化函数的图象
越大 快 比较“ ”(向上或向
下)
越小 慢 比较“ ”(向上或向下)
四、　函数极值的定义
1．极小值点与极小值
若函数 y＝f(x)在点 x＝a的函数值 f(a)比它在点 x＝a附近其他点的函数值都小，f
′(a)＝0，而且在点 x＝a附近的左侧
，右侧
，就把
叫做函数 y＝
f(x)的极小值点，
叫做函数 y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
若函数 y＝f(x)在点 x＝b的函数值 f(b)比它在点 x＝b附近其他点的函数值都大，f
′(b)＝0，而且在点 x＝b附近的左侧
，右侧
，就把 b
叫做函数
y＝f(x)的极大值点，f ( b ) 叫做函数 y＝f(x)的极大值．
3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
五、　函数极值的求法与步骤
1．求函数 y＝f(x)的极值的方法
解方程 f′(x)＝0，当 f′(x0)＝0时，
(1)如果在 x0附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x0)是 ；
(2)如果在 x0附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么 f(x0)是 ．
2．求可导函数 f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数 f′(x)；
(2)求方程
根；
(3)列表；
(4)利用 f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况
求极值．
六、　函数最值的定义
1．一般地，如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它
必有最大值和最小值．
2．对于函数 f(x)，给定区间 I，若对任意 x∈I，存在 x0∈I，使得 f(x)≥f(x0)，则
称f(x0)为 函 数 f(x)在 区 间 I上 的 最 小 值 ； 若 对 任 意 x∈I， 存 在 x0∈I， 使 得
f(x)≤f(x0)，则称 f(x0)为函数 f(x)在区间 I上的最大值．
思考　如图所示，观察区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象，找出函数 f(x)在区间
[a，b]上的最大值、最小值．若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？
答案　函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是 f(a)，最小值是 f(x3)．
若区间改为(a，b)，则 f(x)有最小值 f(x3)，无最大值．
七、　求函数的最大值与最小值的步骤
函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求 f(x)在[a，b]上的最大值
与最小值的步骤如下：
(1)求函数 f(x)在区间(a，b)上的极值；
(2)将函数 f(x)的各极值与端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b ) 比较，其中最大的一个是最
大值，最小的一个是最小值．
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