《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第10讲 用导数研究函数性质（教师版）

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第 10 讲 用导数研究函数性质
真题展示
2022 新高考一卷第 10 题
已知函数 ，则 　　
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线
的切线
【思路分析】对函数 求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项 ；
由 ，可判断选项 ；假设 是曲线 的切线，设切点为 ，
求出 ， 的值，验证点 是否在曲线 上即可．
【解析】
【解法一】(验证切点)： ，令 ，解得 或 ，令 ，
解得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，且
，
有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项 正确，选项 错误；
又 ，则 关于点 对称，故选项 正确；
假设 是曲线 的切线，设切点为 ，则 ，解得 或 ，
显然 和 均不在曲线 上，故选项 错误．
故选： ．
【解法二】 (二级结论)：对于 A、B的判断，同法一；
对于 C，应用结论：三次函数的对称中心为其拐点，而拐点的横坐标满足
。
(x)=3 −1, (x)=6x，由 (x)=6x=0 得x=0，f(0)=1，故点(0,1)是曲线 y=
f(x)的对称中心，C正确；
对于 D，设过原点的直线与函数 f(x)切于点(m,n)，则切线斜率 k=3 −1=
，解得 m= ≠2，D错误 。
【解法三】(平移)：对于 A、B的判断，同法一；
对于 C，f(x)是由 g (x)= x向上平移一个单位而得到，显然 g(x)是奇函数，
其对称中心为(0,0)，将其向上平移一个单位得到 f(x)的对称中心(0,1)。下同法二。
【试题评价】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切
线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
试题亮点
试题通过设计适当的函数，将函数的单调性、极值、零点、切线、函数图
像等概念和性质有机地整合到所创设的问题情境中，设问简洁，考查点全面.试
题既注重基础，又能使考生主动探究的能力得到展示.试题着重考查考生的理性
思维素养和数学探究素养，为高校选拔人才提供有效依据.
知识要点整理
一、　函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)内的函数 y＝f(x)：
f′(x)的正负 f(x)的单调性
f′(x)>0 单调递增
f′(x)<0 单调递减
二、　利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数 y＝f(x)的定义域；
(2)求出导数 f′(x)的零点；
(3)用f′(x)的零点将 f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f′(x)在各区间
上的正负，由此得出函数 y＝f(x)在定义域内的单调性．
三、　函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数 y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对
值
函数值变
化函数的图象
越大 快
比较“陡峭”(向上或向
下)
越小 慢 比较“平缓”(向上或向
下)
四、　函数极值的定义
1．极小值点与极小值
若函数 y＝f(x)在点 x＝a的函数值 f(a)比它在点 x＝a附近其他点的函数值都小，f
′(a)＝0，而且在点 x＝a附近的左侧 f ′ ( x )<0 ，右侧 f ′ ( x )>0 ，就把 a
叫做函数
y＝f(x)的极小值点，f ( a ) 叫做函数 y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
若函数 y＝f(x)在点 x＝b的函数值 f(b)比它在点 x＝b附近其他点的函数值都大，f
′(b)＝0，而且在点 x＝b附近的左侧 f ′ ( x )>0 ，右侧 f ′ ( x )<0 ，就把 b
叫做函数
y＝f(x)的极大值点，f ( b ) 叫做函数 y＝f(x)的极大值．
3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
五、　函数极值的求法与步骤
1．求函数 y＝f(x)的极值的方法
解方程 f′(x)＝0，当 f′(x0)＝0时，
(1)如果在 x0附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x0)是极大值；
(2)如果在 x0附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么 f(x0)是极小值．
2．求可导函数 f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数 f′(x)；
(2)求方程 f ′ ( x ) ＝ 0
的根；
(3)列表；
(4)利用 f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况
求极值．
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