《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第9讲 空间角（教师版）

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第 9 讲 空间角
真题展示
2022 新高考一卷第 9 题
已知正方体 ，则 　　
A．直线 与 所成的角为
B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为
D．直线 与平面 所成的角为
【思路分析】求出异面直线所成角判断 ；证明线面垂直，结合线面垂直的性质
判断 ；分别求出线面角判断 与 ．
【解析】如图，
连接 ，由 ， ，得四边形 为平行四边形，
可得 ， ， 直线 与 所成的角为 ，故 正确；
， ， ， 平面 ，而 平面 ，
，即直线 与 所成的角为 ，故 正确；
设 ， 连 接 ， 可 得 平 面 ， 即 为 直 线 与 平 面
所成的角，
， 直线 与平面 所成的角为 ，故 错误；
底面 ， 为直线 与平面 所成的角为 ，故 正确．
故选： ．
【试题评价】本题考查空间中异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象
能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．
试题亮点 正方体是最常见的几何形体之一，它虽然结构简单，但却
拥有丰富的几何性质.试题简洁明了，考查目的明确，考查内容源于
教材，属于学生知识储备中的基础性知识。考生只需具有基本的空间
想象能力和构图能力，通过简单的运算求解即可得到正确答案．试题
对中学数学教学具有积极的引导作用和指导意义.试题面向全体考生，
同时也为不同能力层次的考生提供了多样性展示平台，增强考生自信
心，促进考生正常发挥水平.
知识要点整理
一、线线平行的向量表示
设u1，u2分别是直线 l1，l2的方向向量，则
l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得 u1＝λu2.
二、　线面平行的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面 α的法向量，l⊄α，则
l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.
三、　面面平行的向量表示
设n1 ，n2 分别是平面 α，β的法向量，则
α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得 n1＝λn2 .
四、线线垂直的向量表示
设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则
l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
五、　线面垂直的向量表示
设u是 直 线 l 的 方 向 向 量 ， n是 平 面 α的 法 向 量 ， l⊄α， 则
l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得 u＝λn.
六、　面面垂直的向量表示
设n1，n2 分别是平面 α，β的法向量，则
α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.
七、两个平面的夹角
平面 α与平面 β的夹角：平面 α与平面 β相交，形成四个二面角，我们把这四个
二面角中不大于 90° 的二面角称为平面 α与平面 β的夹角．
八、　 空间角的向量法解法
角的分类 向量求法 范围
两条异面
直线所成
的角
设两异面直线 l1，l2 所成的角为
θ，其方向向量分别为 u，v，则 cos
θ＝|cos〈u，v〉|＝
直线与平
面所成的
角
设直线 AB 与平面 α所成的角为 θ，
直线 AB 的方向向量为 u，平面 α的
法向量为 n，则 sin θ＝|cos
〈u，n〉|＝
两个平面
的夹角
设平面 α与平面 β的夹角为 θ，平
面α，β的法向量分别为 n1，n2，则
cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝
三年真题
一、单选题
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