《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第8讲 求与几何体的切接（学生版）

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第 8 讲 球与几何体的切接问题
真题展示
2022 新高考一卷第 8 题
已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 ，
且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是 　　
A． ， B． ， C． ， D． ，
知识要点整理
球与各种几何体切、接问题
近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。
首先明确定义 1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球是这个多面体的外接球。
定义 2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是
这个多面体的内切球.
一、球与柱体的切接
规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，
通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
1、 球与正方体
（1）正方体的内切球，如图 1.x位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；
x
数据关系：设正方体的棱长为 ，球的半径为 ，这时有 .x
a
r
2r a
（2）正方体的棱切球，如图 2.x位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合；x
数据关系：设正方体的棱长为 ，球的半径为 ，这时有 .
（3）正方体的外接球，如图 3.x位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；
x
数据关系：设正方体的棱长为 ，球的半径为 ，这时有 .
例 1 棱长为 1的正方体 的 8个顶点都在球 的表面上， 分别是棱 ，
a
r
2 2r a
2
a
r
2 3r a
图3
1 1 1 1
ABCD A B C D
O
E F，
1
AA 1
DD
的中点，则直线 被球 截得的线段长为（ ）
A． B． C．
D．
2、 球与长方体
例 2 自半径为 的球面上一点 ，引球的三条两两垂直的弦 ，求 的值．
例 3（全国卷 I 高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积为
（ ）.
A. B. C. D.
3、 球与正棱柱
EF
O
2
2
1
2
12
2
R
M
MCMBMA ,,
222
MCMBMA
16
20
24
32
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