《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第8讲 求与几何体的切接（教师版）

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第 8 讲 球与几何体的切接问题
真题展示
2022 新高考一卷第 8 题
已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 ，
且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是 　　
A． ， B． ， C． ， D． ，
【思路分析】画出图形，由题意可知求出球的半径 ，设正四棱锥的底面边
长为 ，高为 ，由勾股定理可得 ，又 ，所以 ，
由 的取值范围求出 的取值范围，又因为 ，所以该正四棱锥体积
，利用导数即可求出 的取值范围．
【解析】【解法一】(统一为 h)：如图所示，正四棱锥 各顶点都在同一
球面上，连接 与 交于点 ，连接 ，则球心 在直线 上，连接 ，
设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，
在 中， ，即 ，
球 的体积为 ， 球 的半径 ，
在 中， ，即 ，
， ，
，又 ， ，
该正四棱锥体积 ，
，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
（4） ，
又 ， ，且 ，
，
即该正四棱锥体积的取值范围是 ， ，
故选： ．
【解法二】(统一为 l)：由球的体积为 36π，得球的半径 R=3.
设正四棱锥的底面边长为 a，高为 h， 则 = − ，= +
，解得 h= ，=2 − ,于是正四棱锥的体积 V= h= (2 −
)，设 x= [9,27]∈，则 V= ,求导得 = ),由
>0 得9≤x<24, 由<0 得24<x≤27,故V在[924]上增，在[24,27]上减，当 x=24 时V
取最大值 ，当 x=9 时，V取最小值 ，V的取值范围是[ , ].
注：亦可以运用三元基本不等式+边界值求解。
知识要点整理
球与各种几何体切、接问题
近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。
首先明确定义 1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球是这个多面体的外接球。
定义 2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是
这个多面体的内切球.
一、球与柱体的切接
规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，
通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
1、 球与正方体
（1）正方体的内切球，如图 1.x位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；
x
数据关系：设正方体的棱长为 ，球的半径为 ，这时有 .x
（2）正方体的棱切球，如图 2.x位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合；x
数据关系：设正方体的棱长为 ，球的半径为 ，这时有 .
（3）正方体的外接球，如图 3.x位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；
x
数据关系：设正方体的棱长为 ，球的半径为 ，这时有 .
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