《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第7讲 比较大小（教师版）

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第 7 讲 比较大小
真题展示
2022 新高考一卷第 7 题
设 ， ， ，则 　　
A．B．C．D．
【解析】
【解法一】(构造法 1)构造函数 ， ，则 ， ，
当 时， ，∴ 时， ， 单调递减； 时， ，
单调递增，
在 处取最小值 （1） ， ，
， ， ；
， ， ， ；
，而 ， ，
．故选： ．
【解法二】(构造法 2)：先比较 a与b。设 F(x)=(1−x) −1,0<x<1，则 (x)=−x
<0，∴F(x)在0<x<1 上减，故 F(x)<F(0)=1，即(1−x) <1，0<x<1，∴ <
，0<x<1，取 x=0.1，=，∴0.1 < ，即 a<b；
再比较 a与c。易知 ≥x+1，当且仅当 x=0 时取等号，取 x=0.1，得
>1.1,∴a=0.1 >0.11.
设G(x)=2lnx−x+ ,x>1，则 (x)= <0, G(∴x)在x>1 上减，
故G(x)<G(1)=0，即 2lnx<x− ,取x=，得 ln < ( − )= <0.11<0.1
=a,即c<a，综上 c<a<b.
【解法三】：由不等式 得 ，
又因为 ，所以 ，所以 ；
由 得 ，得 ，所以
所以 .所以 ，综上 .故选项 C正确.
【试题评价】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知
识，考查运算求解能力，是难题．
考查目标 试题以三个数值大小的比较为具体情境，通过数值的共性与特点，构
建函数模型，研究导函数的符号，得到函数的单调性，从而得到函数不等式和
所需结论.试题考查了考生分析问题、解决问题的能力.作为新高考试卷的题目，
试题紧扣课程标准，力图引导教学，符合基础性、综合性、应用性、创新性的
考查要求，体现了较好的选拔功能.
试题亮点 以往的试题中，大小比较的问题往往通过差值比较或商值比较，结
合对数函数与指数函数的性质即可得到结论，试题将函数、导数、不等式这三
者通过比较大小的问题有机结合起来，成为一大亮点. 值得注意的是，试题的解
法多样，构造函数的方法也不尽相同，这为不同能力层次的考生提供了发挥的
空间．但有部分考生应用了泰勒公式等大学数学的知识，这是没有任何基础的 ．
对于泰勒公式的使用条件与结论，很多考生均不清楚，生搬硬套会导致理解不
透彻，甚至得到错误答案．对于高中生而言，不应该使用二级结论，对自己不
清楚的结论更不能随意使用．试题源于教材，紧扣课标，可以对考生的能力进
行很好的区分，具有较好的选拔功能.
知识要点整理
（一）常用技巧和方法
1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道
来：
判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为 和
（1）如果底数和真数均在 中，或者均在 中，那么对数的值为正数
（2）如果底数和真数一个在 中，一个在 中，那么对数的值为负数
例如： 等
2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如 0,1）的大小关系，一作
图，自明了
3、比较大小的两个理念：
（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与
指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，
尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况
例如： ，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变
为相同
，从而只需比较底数的大小即可
（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比
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