《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第3讲 平面向量的线性运算（学生版）

3.0 cande 2025-05-11 15 4 648.94KB 11 页 3知币
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第三讲 平面向量的线性运算
真题展示
2022 新高考一卷第三题
在 中，点 在边 上， ．记 ， ，则 　　
A．B．C．D．
试题亮点
（1）试题考查考生对平面向量基础知识的理解与掌握，
试题解法多样，既可以利用平面向量的线性运算按部就班地推演得到答案，也
可以利用三角形的几何性质直观地看出问题的答案.
（2）试题虽较为简单，但设计精巧，为不同思维水平的考生提供了发挥的空间.
（3）试题给定了两个基向量 CA，CD，由此可以唯一确定其他向量的代数表示.
在高中数学教学中，教师可以引导学生研究此类问题.这种代数表示的系数实际
上是仿射坐标系中的坐标，如试题中 CB=-2CA+3CD 表示了 CB 相对于坐标原
点为 C.在基向量为 CA 和CD 的坐标系中，CB 的坐标分别是-2 和3.教师在指导
学生研究此题时，还可以引导学生考虑其他基向量下 CB 的坐标表示或者其他
向量的坐标表示，以此提高学生对平面向量基本定理深刻且全面的理解．试题
在考查三角形和平面向量必备知识的同时，意在引导高中数学教学对平面向量
基本定理的深刻理解与把握，引导学生要对向量几何有深刻的理解和把握.
知识要点整理
　一.平面向量基本定理
1．平面向量基本定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于
这一平面内的 向量 a， 实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.
2．基底：若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个
基底．
反思感悟　平面向量基本定理的作用以及注意点
(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面
内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则 ，
进行向量的线性运算．
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出
要表示的向量．
二、两向量的夹角与垂直
1．夹角：已知两个 a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝
b，则 ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量 a与b的夹角(如图所示)．
当θ＝0时，a与b ；当 θ＝π时，a与b反向．
2．垂直：如果 a与b的夹角是，则称 a与b垂直，记作 a⊥b.
三、　向量数量积的定义
已知两个非零向量 a，b，它们的夹角为 θ，我们把数量|a|·|b|cos θ叫做向量 a与
b的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为 0.
思考　若a≠0，且 a·b＝0，是否能推出 b＝0?
答案　在实数中，若 a≠0，且 a·b＝0，则 b＝0；但是在数量积中，若 a≠0，且
a·b＝0，不能推出 b＝0.因为其中 a有可能垂直于 b.
四、　投影向量
1．如图，设 a，b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，我们考虑如下的变换：过
AB的起点 A和终点 B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为 A1，B1，得到
A1B1，我们称上述变换为向量 a向向量 b的 ，A1B1叫做向量 a在向量 b
上的投影向量．
2．如图，在平面内任取一点 O，作OM＝a，ON＝b，过点 M作直线 ON 的垂线，
垂足为 M1，则OM1就是向量 a在向量 b上的投影向量．设与 b方向相同的单位
向量为 e，a与b的夹角为 θ，则OM1与e，a，θ之间的关系为OM1＝|a|cos θ e.
五、　平面向量数量积的性质
设向量 a与b都是非零向量，它们的夹角为 θ，e是与 b方向相同的单位向量．
则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b| |a||b|.
三年真题
1．已知向量 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
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