《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第3讲 平面向量的线性运算（教师版）

3.0 cande 2025-05-11 12 4 2.26MB 29 页 3知币
侵权投诉
第三讲 平面向量的线性运算
真题展示
2022 新高考一卷第三题
在 中，点 在边 上， ．记 ， ，则 　　
A．B．C．D．
【解析】
【解法一】(向量回路)：如图，
，
，即 ．故选： ．
【解法二】 (特殊化建系)：取 C为直角，并以 C为原点，CA、CB 所在直线分
别为 x，y轴建立直角坐标系，设 A(3a,0),B(0,3b)，由 BD=2DA 知D为靠近 A的
三等分点，从而 D(2a,b)，∴ 。
【试题评价】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基
础题．
试题亮点
（1）试题考查考生对平面向量基础知识的理解与掌握，
试题解法多样，既可以利用平面向量的线性运算按部就班地推演得到答案，也
可以利用三角形的几何性质直观地看出问题的答案.
（2）试题虽较为简单，但设计精巧，为不同思维水平的考生提供了发挥的空间.
（3）试题给定了两个基向量 CA，CD，由此可以唯一确定其他向量的代数表示.
在高中数学教学中，教师可以引导学生研究此类问题.这种代数表示的系数实际
上是仿射坐标系中的坐标，如试题中 CB=-2CA+3CD 表示了 CB 相对于坐标原
点为 C.在基向量为 CA 和CD 的坐标系中，CB 的坐标分别是-2 和3.教师在指导
学生研究此题时，还可以引导学生考虑其他基向量下 CB 的坐标表示或者其他
向量的坐标表示，以此提高学生对平面向量基本定理深刻且全面的理解．试题
在考查三角形和平面向量必备知识的同时，意在引导高中数学教学对平面向量
基本定理的深刻理解与把握，引导学生要对向量几何有深刻的理解和把握.
知识要点整理
　一.平面向量基本定理
1．平面向量基本定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于
这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.
2．基底：若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个
基底．
反思感悟　平面向量基本定理的作用以及注意点
(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面
内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则 ，
进行向量的线性运算．
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出
要表示的向量．
二、两向量的夹角与垂直
1．夹角：已知两个非零向量
a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝
b，则∠ AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量 a与b的夹角(如图所示)．
当θ＝0时，a与b同向；当 θ＝π时，a与b反向．
2．垂直：如果 a与b的夹角是，则称 a与b垂直，记作 a⊥b.
三、　向量数量积的定义
已知两个非零向量 a，b，它们的夹角为 θ，我们把数量|a|·|b|cos θ叫做向量 a与
b的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为 0.
思考　若a≠0，且 a·b＝0，是否能推出 b＝0?
答案　在实数中，若 a≠0，且 a·b＝0，则 b＝0；但是在数量积中，若 a≠0，且
a·b＝0，不能推出 b＝0.因为其中 a有可能垂直于 b.
四、　投影向量
1．如图，设 a，b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，我们考虑如下的变换：过
AB的起点 A和终点 B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为 A1，B1，得到
A1B1，我们称上述变换为向量 a向向量 b的投影，A1B1叫做向量 a在向量 b上
的投影向量．
2．如图，在平面内任取一点 O，作OM＝a，ON＝b，过点 M作直线 ON 的垂线，
垂足为 M1，则OM1就是向量 a在向量 b上的投影向量．设与 b方向相同的单位
向量为 e，a与b的夹角为 θ，则OM1与e，a，θ之间的关系为OM1＝|a|cos θ e.
五、　平面向量数量积的性质
设向量 a与b都是非零向量，它们的夹角为 θ，e是与 b方向相同的单位向量．
则
《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第3讲 平面向量的线性运算（教师版）.docx

共29页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：cande 分类：高中 价格：3知币 属性：29 页 大小：2.26MB 格式：DOCX 时间：2025-05-11

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 29
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注