《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第2讲 复数的概念与运算（学生版）

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第二讲 复数的概念与运算
真题展示
2022 新高考一卷第一题
若 ，则 （）
A．B．C．1 D．2
知识要点整理
1．数系的扩充与复数的相关概念
(1)复数的引入
为了解决 +1=0 这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数 i，规定：
①=-1，即 i是方程 +1=0 的根；
②实数可以和数 i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.
在此规定下，实数 a与i相加，结果记作 a+i；实数 b与i相乘，结果记作 bi；实数 a
与bi相加，结果记作________.注意到所有实数以及 i都可以写成________的形式，从
而这些数都在扩充后的新数集中.
(2)复数的概念
我们把形如________的数叫做复数，其中 i叫做虚数单位.全体复数构成的集合
C={a+bi|a,bR}∈叫做复数集.这样，方程 +1=0 在复数集 C中就有解 x=i 了.
(3)复数的表示
复数通常用字母 z表示，即 z=a+bi(a,bR).∈以后不作特殊说明时，复数 z=a+bi都有
a,bR∈，其中的 a与b分别叫做复数 z的________与________.
(4)复数的分类
对于复数 a+bi，当且仅当 b=0 时，它是实数；当且仅当 a=b=0 时，它是实数 0；当 b≠0
时，它叫做虚数；当 a=0 且b≠0 时，它叫做________.
显然，实数集 R是复数集 C的________，即 R C.
复数 z=a+bi可以分类如下：
复数 ，复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间
的关系，可用图表示.
2．复数相等
在复数集 C={a+bi|a,bR}∈中任取两个数 a+bi，c+di(a,b,c,dR)∈，我们规定：a+bi与
c+di相等当且仅当________，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相
等时，两个复数才相等.
3．复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义，可得复数 z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对
(a,b)平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点 Z的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z=a+bi可用点 Z(a,b)表示，这个建立了直
角坐标系来
表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.
(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每
一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集 C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数 z=a+bi
复平面内的点 Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
(3)复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数
对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点 Z表示复数 z=a+bi，连接 OZ，显然向量 由点 Z唯一确
定；反过来，点 Z(相对于原点来说)也可以由向量 唯一确定.
因此，复数集 C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数 0与零向量
对应)，即复数 z=a+bi平面向量 ，这是复数的另一种几何意义.
4．复数的模
向量 的模 r叫做复数 z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果 b=0，那么 z=a+bi
是一个实数 a，它的模等于________（就是 a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=
(r0,rR).∈
5．共轭复数
(1)定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复
数.虚部不等于 0的两个共轭复数也复数 z的共轭复数用________表示，即若 z=a+bi，
则________.特别地，实数 a的共轭复数仍是 a本身.
(2)几何意义
互为________的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和
它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.
(3)性质
①=z.
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