《备战2021年高考数学（文）三轮复习查缺补漏特色专题》专题22：圆锥曲线与方程解答题精选提升专练（解析版）
专题 22：圆锥曲线与方程解答题精选提升专练（解析版）
1．设椭圆 的左、右焦点分别为 是椭圆上的一点，
，原点 到直线 的距离为 ．
（Ⅰ）证明 ；
（Ⅱ）设 为椭圆上的两个动点， ，过原点 作直线 的垂线
，垂足为 ，求点 的轨迹方程．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）点 的轨迹方程为
【解析】
（Ⅰ）证法一：由题设 及 ， ，不妨设点 ，其中
．由于点 在椭圆上，有 ，即 ．
解得 ，从而得到 ．
直线 的方程为 ，整理得 ．
由题设，原点 到直线 的距离为 ，即 ，
将 代入上式并化简得 ，即 ．
证法二：同证法一，得到点 的坐标为 ．
1
过点 作 ，垂足为 ，易知 ，故 ．
由椭圆定义得 ，又 ，
所以 ，
解得 ，而 ，得 ，即 ．
（Ⅱ）解法一：设点 的坐标为 ．
当 时，由 知，直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为
，或 ，其中 ， ．
点 的坐标满足方程组
将①式代入②式，得 ，
整理得 ，
于是 ， ．
由①式得
．
2
由 知 ．将③式和④式代入得 ，
．
将 代入上式，整理得 ．
当 时，直线 的方程为 ， 的坐标满足方程组
所以 ， ．
由 知 ，即 ，
解得 ．
这时，点 的坐标仍满足 ．
综上，点 的轨迹方程为 ．
解法二：设点 的坐标为 ，直线 的方程为 ，由 ，
垂足为 ，可知直线 的方程为 ．
记 （显然 ），点 的坐标满足方程组
由①式得 ． ③
3
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