《备战2021年高考数学（文）三轮复习查缺补漏特色专题》专题21：立体几何解答题精选提升专练（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 15 4 1.95MB 28 页 3知币
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专题 21：立体几何解答题精选提升专练（解析版）
1如图，正方体 的棱长为 ，
为 的中点（1）求证： //平面 ；（2）求点 到平面 的距离
【答案】（1）证明：连接 交 于 ，连 . ------------因为 为正方形
对角线的交点，
所以 为 、 的中点. ------------------------------------------------------3 分
在D中， 、 分别为 、 的中点，
所以 // . ----------------------------5 分
又 平面 ，
1
平面 ，
所以 //平面 . --------------------------7 分
（2）解：设 到平面 的距离为 .
在 中， ，且 ， ，
所以 ， ----------------------------------------------------9 分
于是 . ----------------------------------------------------10 分
因为 . --------------------------12 分
又 ，即 ， --------------------------------------------13 分
解得 ，
故点 到平面 的距离为 . ----------------------------------------------------14 分
2．在三棱锥 中，
（1）证明： ；
2
（2）求三棱锥的体积 .
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）利用 SA⊥平面 ABC，根据三垂线定理，可得 SC AC⊥；（2）求三棱
锥S ABC﹣的体积，由题设条件得，棱锥的高是 SA，底面是直角三角形，体积易求．
解析：（1）证明：∵∠SAB= SAC=90°∠
∴SA AB⊥，SA AC⊥，
又AB∩AC=A，
∴SA⊥平面 ABC
∴SA BC⊥
又∠ACB=90°，∴AC BC⊥
∴BC⊥平面 SAC
∴SC BC⊥
（2）解：在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2，BC= ，∴AB=
又在△SAB 中，SA AB⊥，AB= ，SB= ，∴SA=2
又SA⊥平面 ABC，∴VS ABC﹣= =
点睛：本题以三棱锥为载体，考查线线垂直，考查几何体的体积，关键是正确运用线
面垂直的判定．这个题目考查了线线垂直的证明，一般如果是异面直线垂直的证明，
则先将直线平移到同一平面中再证明垂直关系，或者直接证线面垂直进而得到线线垂
直.
3．如图，在底面是菱形的四棱锥 P—ABC Ｄ中，∠ABC= ，PA=AC=a，PB=PD=
，点 E在PD 上，且 PE:ED=2:1．
3
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