《备战2021年高考数学（文）三轮复习查缺补漏特色专题》专题20：概率统计解答题精选提升专练（原卷版）

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专题 20：概率统计解答题精选提升专练（原卷版）

一、解答题

1．某学校为了了解学校食堂的服务情况，随机调查了 50 名就餐的教师和学生，根据

这50 名师生对食堂服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本

数据分组为[40,50)，[50,60)，…，[90,100].

（1）求频率分布直方图中 a的值，以及该组数据的中位数（结果保留一位数）.

（2）学校规定：师生对食堂服务质量评分不得低于 75 分.否则将进行内部调整，用每

组数据的中点值，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是

否需要进行内部整顿.

2．如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应

的生产能耗（吨）标准煤的几组对照数据：

3 4 5 6

2.5 3 4 4.5

（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；

（2）已知该厂技术改造前 100 吨甲产品能耗为 90 吨标准煤，试根据（1）求出的线性

回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？

（参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式，）

3．下图是某市 3月1日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空

气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 3月1日至 3月

13 日中的某一天到达该市，并停留 2天.

（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；

（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有 1天空气重度污染的概率；

（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

4．世界各国越来越关注环境保护问题，某检测点连续 100 天监视空气质量指数

（AQI），将这 100 天的 AQI 数据分为五组，各组对应的区间为

.并绘制出如图所示的不完整的频率

分布直方图.

（1）请将频率分布直方图补充完整；

（2）已知空气质量指数 AQI 在内的空气质量等级为优，在内的空气

质量等级为良，分别求这 100 天中空气质量等级为优与空气质量等级为良的天数；

（3）在（2）的条件下，在空气质量等级为优和良的天数中，先按分层抽样的方法已

经选定了 6天，然后再从这 6天中任取两天，求这两天的空气质量等级相同的概率.

5．为响应习近平总书记在党的十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，

某市旅游局筹划共投入 4千万元，对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各

旅游景区收益的增加值作了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景

区在治理后收益的增加值绘制出如图所示频率分布直方图，由于操作失误，横轴的数

据丢失，但可以确定横轴是从 0开始计数的.

（1）旅游局在投入 4千万元的治理经费下，估计全市旅游景区收益增加值的平均数为

多少万元(以各组的区间中点值代表该组的取值)；

（2）若旅游局投入不同数额的经费，按照以上的研究方法，得到以下数据：

投入的治理经费x(单位：千万

元)

1234567

收益的增加值y(单位：万元) 2 3 2 7 7 9

将第（1）问结果填入表格后，数据显示x与y之间存在线性相关关系.在优化环境的同

时，旅游局还谋划使全市旅游景区收益的总额至少增加 10 万元，试估计在此目标下，

旅游局应该对全市旅游景区至少投入多少千万元的治理经费？(答案精确到0.01).

参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

6．2020 年4月底，随着新冠疫情防控进入常态化，为了促进消费复苏增长，上饶市开

展“五一消费黄金周”系列活动，并发放亿元电子消费券．活动过后，我们随机抽取

了50 人，对是否使用过电子消费券进行调查，结果如下表：

年龄

(单位：岁)

抽取人数 2 10 13 12 10 3

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