《备战2021年高考数学（文）三轮复习查缺补漏特色专题》专题20：概率统计解答题精选提升专练（解析版）

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专题 20：概率统计解答题精选提升专练（解析版）

一、解答题

1．某学校为了了解学校食堂的服务情况，随机调查了 50 名就餐的教师和学生，根据

这50 名师生对食堂服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本

数据分组为[40,50)，[50,60)，…，[90,100].

（1）求频率分布直方图中 a的值，以及该组数据的中位数（结果保留一位数）.

（2）学校规定：师生对食堂服务质量评分不得低于 75 分.否则将进行内部调整，用每

组数据的中点值，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是

否需要进行内部整顿.

【答案】（1）；；（2），所以食堂不需要内部整顿.

【分析】

（1）根据小矩形的面积之和等于求出 a的值；再根据中位数将所有小矩形的面积平

分即可求解.

（2）根据平均数等于各小矩形的面积乘以等边中点横坐标之和即可求解.

【详解】

（1）由，

解得 .

设该组数据的中位数为，

则，

解得，所以该组数据的中位数为 .

（2）由题中数据可得对食堂服务质量评分的平均分为

，

因为，所以食堂不需要内部整顿.

【点睛】

本题考查了根据频率分布直方图求中位数、平均数，考查了基本运算求解能力，属于

基础题.

2．如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应

的生产能耗（吨）标准煤的几组对照数据：

3 4 5 6

2.5 3 4 4.5

（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；

（2）已知该厂技术改造前 100 吨甲产品能耗为 90 吨标准煤，试根据（1）求出的线性

回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？

（参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式，）

【答案】（1）；（2）预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降

低吨．

【分析】

（1）根据所给的数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数的公式，

求得结果，再把样本中心点代入，求出值，得到线性回归方程；

（2）根据第一问中所求的线性回归方程，把代入线性回归方程，即可得到答

案；

【详解】

解：（1），，，，

；

，

所求的回归方程为．

（2）时，（吨），预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降

低（吨）．

【点睛】

此题考查线性回归方程的求法和应用，考查计算能力，属于基础题

3．下图是某市 3月1日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空

气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 3月1日至 3月

13 日中的某一天到达该市，并停留 2天.

（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；

（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有 1天空气重度污染的概率；

（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）从 3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最

大

【解析】

（Ⅰ）在 3月1日至 3月13 日这 13 天中，1日，2日，3日，7日，12 日，13 日共 6天

的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为．

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