《备战2021年高考数学（文）三轮复习查缺补漏特色专题》专题16：坐标系与参数方程（解析版）

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专题 16：坐标系与参数方程知识点和精选提升题（解析版）

知识点:

极坐标直角坐标互化

点M直角坐标

(

x , y

)

极坐标

(

ρ ,θ

)

互化公式

{

x=ρcos θ

y=ρsin θ

ρ2=x2+y2

tan θ=y

(

x≠0

)

参数方程：直线参数方程：为直线上的定点，

为直线上任一点到定点的数量；

圆锥曲线参数方程：圆的参数方程： (a,b)为圆心，r

为半径；

椭圆的参数方程是；

双曲线的参数方程是；

抛物线的参数方程是

极坐标与直角坐标互化公式：

若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点 P 的极坐

标为，直角坐标为，则 , , ,

。

一、解答题

1．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： (α为参数)．以原点 O为极点，

x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2：ρ2＝4ρcos θ－3.

（1）求 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程；

（2）若曲线 C1与C2交于 A，B两点，A，B的中点为 M，点 P(0，－1)，求|PM|·|AB|

的值．

【答案】（1）曲线 :；曲线：；（2）3．

【分析】

（1）利用参数方程和极坐标方程化为普通方程和直角坐标方程的公式即可求解；

（2）将两圆的方程作差可得直线 AB 的方程，与圆 C2联立，转化为关于 t的一元二次

方程，由参数的几何意义及韦达定理求解．

【详解】

（1）曲线的普通方程为．

由，得曲线的直角坐标方程为．

（2）将两圆的方程与作差得直线 AB 的方程为

．

点P(0，－1)在直线 AB 上，设直线 AB 的参数方程为 (t为参数)，

代入化简得，所以

因为点 M对应的参数为＝，

所以|PM|·|AB|＝·|t1－t2|＝×＝×＝3.

2．在极坐标系下，已知圆 O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线 l：ρsin ＝.

（1）求圆 O和直线 l的直角坐标方程；

（2）当 θ(0,π)∈时，求直线 l与圆 O公共点的一个极坐标.

【答案】（1）x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0；（2）.

【分析】

（1）根据极坐标与直角坐标的关系，即可写出圆 O和直线 l

的直角坐标方程；

（2）联立圆 O和直线 l方程求交点，将其转化为极坐标即可.

【详解】

（1）圆 O：ρ＝cos θ＋sin θ，即 ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，

∴圆 O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即 x2＋y2－x－y＝0，

直线 l：，即 ρsin θ－ρcos θ＝1，

∴直线 l的直角坐标方程为：y－x＝1，即 x－y＋1＝0.

（2）由得

故直线 l与圆 O公共点的一个极坐标为 .

3．已知圆和圆的极坐标方程分别为，．

（1）求两圆的直角坐标方程；

（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

【答案】（1），；（2）

【分析】

（1）将两边同时平方得，将展开得后整理

得：，再将，，代

入两个极坐标方程即可得直角坐标方程；

（2）将两个圆的直角坐标方程相减可得经过两圆交点的直线的直角坐标方程，再将

，代入即可得极坐标方程.

【详解】

（1）由得，因为，

所以圆的直角坐标方程为，

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