《备战2021年高考数学（文）三轮复习查缺补漏特色专题》专题11：导数及其应用（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 11 4 1.05MB 30 页 3知币
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专题 11：导数及其应用知识点和精选提升题（解析版）
导数的基础知识：
一．导数的定义：
2.利用定义求导数的步骤：
①求函数的增量： ；②求平均变化率：
；
③取极限得导数：
（下面内容必记）
二、导数的运算：
（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：
① ； ② ； ；
③ ； ④ ⑤ ⑥
；
⑦ ； ⑧
法则 1： ；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).
法则 2： (口诀：前导后不导相乘，后导前
不导相乘，中间是正号)
法则 3：
(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)
1
（2）复合函数 的导数求法：
①换元， 令 ， 则 ②分别求导再相乘 ③回代
三．导数的物理意义
1.求瞬时速度：物体在时刻 时的瞬时速度 就是物体运动规律 在 时
的导数 ，
即有 。
2.V＝s/(t)　表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。
四．导数的几何意义：
函数 在 处导数的几何意义，曲线 在点 处切线的斜率
是 。于是相应的切线方程是： 。
题型三．用导数求曲线的切线
注意两种情况：
（1）曲线 在点 处切线：性质： 。相应的切线
方程是：
（2）曲线 过点 处切线：先设切点，切点为 ,则斜率 k=
， 切 点 在 曲 线 上 ， 切 点 在 切 线
上，切点 坐标代入方程得关于 a,b 的方程组，解方程
组来确定切点，最后求斜率 k= ，确定切线方程。
五．函数的单调性：设函数 在某个区间内可导，
（1） 该区间内为增函数；
（2） 该区间内为减函数；
注意：当 在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时， 在这
个区间上仍是递增（或递减）的。
（3） 在该区间内单调递增 在该区间内恒成立；
（4） 在该区间内单调递减 在该区间内恒成立；
2
上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间
的子集。
注意：若函数
f
（
x
）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则
x
=c 两侧使
函数
f'
（
x
）变号，即 x=c 为函数的一个极值点，所以
六、函数的极值与其导数的关系：
1.① 极值的定义：设函数 在点 附近有定义，且若对 附近的所有的点都有
（或 ，则称 为函数的一个极大（或小）值， 为
极大（或极小）值点。
②可导数 在极值点 处的导数为 0（即 ），但函数 在某点 处
的导数为 0，并不一定函数 在该处取得极值（如 在 处的导数
为 0，但 没有极值）。
③求极值的步骤：
第一步：求导数 ；
第二步：求方程 的所有实根；
第三步：列表考察在每个根 附近，从左到右，导数 的符号如何变化，
若 的符号由正变负，则 是极大值；
若 的符号由负变正，则 是极小值；
若 的符号不变，则 不是极值， 不是极值点。
2、函数的最值：
①最值的定义：若函数在定义域 D 内存 ，使得对任意的 ，都有 ，
（或 ）则称 为函数的最大（小）值，记作 （或
）
②如果函数 在闭区间 上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在
闭区间 上必有最大值和最小值。
③求可导函数 在闭区间 上的最值方法：
第一步；求 在区间 内的极值；
第二步：比较 的极值与 、 的大小：
3
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