《备战2021年高考数学（文）三轮复习查缺补漏特色专题》专题8：不等式（解析版）

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专题 8：不等式知识点和精选提升题（解析版）
不等式的基本知识点：
（一）不等式与不等关系
1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：
(1)对称性：
a>b⇔b<a
　　　　　　　(2)传递性：
a>b ,b >c⇒a>c
(3)加法法则：
a>b⇒a+c>b+c
；
a>b , c>d⇒a+c>b+d
(同向可加)
(4)乘法法则：
a>b , c>0⇒ac >bc
；　　　　
a>b , c<0⇒ac <bc
a>b>0, c >d>0⇒ac >bd
(同向同正可乘)
(5) 倒数法则：
　
(6)乘方法则：
a>b>0⇒an>bn(n∈N∗n且>1)
(7)开方法则：
a>b>0⇒n
√
a>n
√
b(n∈N∗n且>1)
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——
结论）
3、应用不等式性质证明不等式
（二）解不等式
1、一元二次不等式的解法
一元二次不等式
ax2+bx +c>0或ax2+bx +c<0
(
a≠0
)
的解集：
设 相 应 的 一 元 二 次 方 程
ax2+bx +c=0
(
a≠0
)
的 两 根 为
x1、x2且x1≤x2
，
Δ=b2−4ac
，则不等式的解的各种情况如下表：
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
（
a>0
）的图象
y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
一元二次方程
ax2+bx +c=0
(
a>0
)
的根
有两相异实根
x1, x2(x1<x2)
有两相等实根
x1=x2=− b
2a
无实根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
{
x|x<x1x或>x2
}
{
x|x≠− b
2a
}
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{
x|x1<x<x2
}
∅
∅
2、简单的一元高次不等式的解法：
标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的
系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一
点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现 的符号变化规律，写出不
等式的解集。
3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将
分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解
分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题
若不等式
f
(
x
)
>A
在区间
D
上恒成立,则等价于在区间
D
上
若不等式
f
(
x
)
<B
在区间
D
上恒成立,则等价于在区间
D
上
（三）线性规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式
Ax
+
By
+
C
＞0 在平面直角坐标系中表示直线
Ax
+
By
+
C
=0 某一侧所有
点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线
Ax
+
By
+
C
=0 同一侧的所有点(
x , y
)，把它的坐标（
x , y
) 代 入
Ax
+
By
+
C
， 所 得 到 实 数 的 符 号 都 相 同 ， 所 以 只 需 在 此 直 线 的 某 一 侧 取 一 特 殊 点
（x0,y0)，从 Ax0+By0+C的正负即可判断 Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.
（特殊地，当 C≠0 时，常把原点作为此特殊点）
3、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量 x、y的约束条件，这组约
束条件都是关于 x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于 x、y的一次式 z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y的解析式，
叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线
( )f x
性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：
（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）依据线性目标函数作参照直线 a
x
+b
y＝0，
在可行域内平移参照直线求目标
函数的最优解
（四）基本不等式
1．若 a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b
时取等号.
2．如果a,b 是正数，那么
a+b
2≥
√
ab (当且仅当a=b时取 =号).
变形： 有:a+b≥
2
√
ab
；ab≤
(
a+b
2
)
2
,当且仅当 a=b
时取等号.
3．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当 a=b 时,a+b 有最小值
2
√
P
;
如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当 a=b 时,ab 有最大值
S2
4
.
注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值
时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”
4.常用不等式有：（1） (根据目标不等式左右
的运 算 结构选 用 ) ； （ 2 ）
a
、
b
、
c
R， （ 当且仅 当
时，取等号）；（3）若 ，则 （糖水的浓度问
题）。
一、单选题
1．若 ，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2 2 2
2 2 1 1
a b a b ab
a b
 
 
2 2 2
a b c ab bc ca  
a b c 
0, 0a b m 
b b m
a a m
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