《备战2021年高考数学（文）三轮复习查缺补漏特色专题》专题4：平面向量（原卷版）

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专题 4：平面向量知识点和精选提升题（原卷版）

平面向量知识点：

1．向量的有关概念

名称定义备注

向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向

量的长度(或称模)

平面向量是自由向量

零向量长度为 0

的向量；其方向是任意的记作 0

单位向

量长度等于 1

个单位的向量非零向量 a的单位向量为±

平行向

量方向相同或相反的非零向量

0与任一向量平行或共线

共线向

量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量

相等向

量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能

比较大小

相反向

量长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为 0

2.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

加法求两个向量和的运

算

(1)交换律：

a＋b＝b＋a.

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).

减法

求a与b的相反向量

－b的和的运算叫做

a与b的差三角形法则

a－b＝a＋(－b)

数乘求实数 λ与向量 a的

积的运算

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ>0 时，λa的方向与 a的方

向相同；当 λ<0 时，λa的方向与 a

的方向相反；当 λ＝0时，λa＝0

λ(μa)＝(λμ)a；

(λ＋μ)a＝λa＋μa；

λ(a＋b)＝λa＋λb

3.共线向量定理

向量 a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使 b＝λa.

11．如图，，不共线，且，用，表示．

4．平面向量基本定理

如果 e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有

一对实数 λ1、λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.

其中，不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

5．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝( x 1＋ x 2， y 1＋ y 2)，a－b＝( x 1－ x 2， y 1－ y 2)，λa＝

( λx 1， λ y 1)，|a|＝.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝( x 2－ x 1， y 2－ y 1)，|AB|＝.

6．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0.a∥b⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .

7．平面向量的数量积

已知两个非零向量 a与b，它们的夹角为 θ，则数量|a||b|cos θ叫做 a与b的数量积(或内积)，

记作 a·b＝|a||b|cos θ.

规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.

两个非零向量 a与b垂直的充要条件是 a·b＝0，两个非零向量 a与b平行的充要条件是

a·b＝±|a||b|.

8．平面向量数量积的几何意义

数量积 a·b 等于 a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．

9．平面向量数量积的重要性质

(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2)非零向量 a，b，a

⊥

b⇔a·b＝0；

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