《备战2021年高考数学（文）三轮复习查缺补漏特色专题》专题4：平面向量（解析版）

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专题 4：平面向量知识点和精选提升题（解析版）
平面向量知识点：
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向
量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量 长度为 0
的向量；其方向是任意的 记作 0
单位向
量长度等于 1
个单位 的向量 非零向量 a的单位向量为±
平行向
量方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向
量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向
量长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能
比较大小
相反向
量长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为 0
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义)运算律
加法 求两个向量和的运
算
(1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
减法
求a与b的相反向量
－b的和的运算叫做
a与b的差 三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数 λ与向量 a的
积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0 时，λa的方向与 a的方
向相同；当 λ<0 时，λa的方向与 a
的方向相反；当 λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量 a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使 b＝λa.
11．如图， ， 不共线，且 ，用 ， 表示 ．
1
4．平面向量基本定理
如果 e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且
只有一对实数 λ1、λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
5．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝( x 1＋ x 2， y 1＋ y 2)，a－b＝( x 1－ x 2， y 1－ y 2)，λa＝
( λx 1， λy 1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝( x 2－ x 1， y 2－ y 1)，|AB|＝.
6．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0.a∥b⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .
7．平面向量的数量积
已知两个非零向量 a与b，它们的夹角为 θ，则数量|a||b|cos θ叫做 a与b的数量积(或内
积)，记作 a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.
两个非零向量 a与b垂直的充要条件是 a·b＝0，两个非零向量 a与b平行的充要条件
是 a·b＝±|a||b|.
8．平面向量数量积的几何意义
数量积 a·b 等于 a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
9．平面向量数量积的重要性质
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2)非零向量 a，b，a
⊥
b⇔a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当 a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝|a|2，|a|＝；
(4)cos θ＝； (5)|a·b|__≤__|a||b|.
10．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c
＋b·c.
11．平面向量数量积有关性质的坐标表示
2
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋ y 1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x 2
＋ y 2
或|a|＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A、B两点间的距离|AB|＝|AB|＝.
(3)设两个非零向量 a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0 .
12．向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型 所用知识 公式表示
线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 ，
其中 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0 ，
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 a，b为非零向量
夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量 a，b的夹角)
长度问题 数量积的定义 |a|＝＝，其中 a＝(x，y)
一、单选题
1．设向量 ， ，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由平面向量加法的坐标运算可求得 的坐标.
【详解】
.
故选：B.
2．如图，在平行四边形 中，E是 的中点， ，则 =（ ）
A．B．
3
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