《备战2021年高考数学（文）三轮复习查缺补漏特色专题》专题2：函数（解析版）

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专题 2：函数知识点和精选提升题（解析版）
知识点
一、函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集
合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：
A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x 叫做自变量，
x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合
{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注：1．定义域：能使函数式有意义的实数
x
的集合称为函数的定义域。
(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；（3)对数式对数式的
真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5 指数为零底不可
以等于零，
2.相同函数的判断：①定义域一致 ②表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无
关）
3.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法
1 方程
f(x)=0
有实数根
⇔
函数
y=f(x)
的图象与
x
轴有交点
⇔
函数
y=f(x)
有
零点．
2、函数零点的求法：
（代数法）求方程
f(x)=0
的实数根；
（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数
的图象联系起来，
并利用函数的性质找出零点．
3、二次函数的零点：二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)
．
（1）△＞０，方程
ax2+bx +c=0
有两不等实根，二次函数的图象与
x
轴有两个交
点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程
ax2+bx +c=0
有两相等实根，二次函数的图象与
x
轴有一个交
点，二次函数有一个零点．
（3）△＜０，方程
ax2+bx +c=0
无实根，二次函数的图象与
x
轴无交点，二次函
数
无零点．
1.函数的单调性 （1）设
x1
⋅x2∈
[
a ,b
]
, x1≠x2
那么
f(x1)−f(x2)
x1−x2
>0⇔f(x)在
[
a , b
]
上是增函
数；
f(x1)−f(x2)
x1−x2
<0⇔f(x)在
[
a , b
]
上是减函
数.
（2）单调性性质：
①增函数+增函数=增函数； ②减函数+减函数=减函数；
③增函数-减函数=增函数； ④减函数-增函数=减函数；
注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的
交集。
2. 复合函数单调性的判断方法：
⑴如果函数
f(x)
和
g(x)
都是减函数（增函数）,则在公共定义域内,
1
的单调性。的单调性，从而得出
与的单调性，必须考虑对于复合函数
)]([)(
)()]([
xgfyxgu
ufyxgfy
增函数
增函数 增函数
增函数
增函数
增函数
减函数 减函数
减函数
减函数
减函数
减函数
 
y f u
 
u g x
 
y f g x 
 
小结：同增异减。
研究函数的单调性，定义域优先考虑。
且复合函数的单调区间是它的定义域的某个子区间。
和函数
f(x)+g(x)
也是减函数（增函数）;
⑵
3．函数的奇偶性（注：奇偶函数大前提：定义域必须关于原点对称）
⑴若 是偶函数，则 ；偶函数的图象关于 y轴对称；
偶函数在对称区间上的单调性相反。
⑵如果一个奇函数在 处有定义，则 ；奇函数的图象关于原点对称；
奇函数在对称区间上的单调性相同。
⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式： 或者
⑷奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;
反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；
如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数．
（5）两个奇函数之和（差）为奇函数；之积（商）为偶函数。
（6）两个偶函数之和（差）为偶函数；之积（商）为偶函数。
（7）一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。
（8）两个函数 和 复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那
么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。
4. 函 数 的 图 象 的 对 称 性 ： 函 数 的 图 象 关 于 直 线 对 称
.
5.两个函数图象的对称性
(1)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.
(2)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.
(3)指数函数
y=ax
和
y=logax
的图象关于直线 y=x 对称.
6.若将函数
y=f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到函数
y=f(x−a)+b
的图
象
7.互为反函数的两个函数的关系：
f(a)=b⇔f−1(b)=a
.
8.几个常见抽象函数模型所对应的具体函数模型
(1)正比例函数 , .
(2) 指 数 函 数 ,
.
(3)对数函数 , .
(4)幂函数 , .
12.分数指数幂 ：(1) （ ，且 ）;
2
(2) （ ，且 ）.
13．根式的性质: ； 当 为奇数时， ；
当 为偶数时， .
14．有理指数幂的运算性质
(1) ;(2) ;
(3) .
15.指数式与对数式的互化式： .
16.对数的换底公式 ： ( ,且 , ,且 , ).
推论 ( ,且 , ,且 , , ).
17．对数有关性质： ⑴ 的符号有口诀“同正异负”记忆； ⑵ ；
；(3)对数恒等式： (4)
；
(5)设函数
f(x)=logm(ax2+bx+c)(a≠0)
,记
Δ=b2−4ac
.
若
f(x)
的定义域为
R
,则
a>0
，且
Δ<0
;
若
f(x)
的值域为
R
,则
a>0
，且
Δ≥0
.对于
a=0
的情形,需要单独检验.；
9.幂函数，指数函数，对数函数的图像及性质分析
表1幂函数
α
第一象限
性质
减函数 增函数
过点（1，1）
后，|α|越大，
图像下落的越
快
图像是向上凸的 图像是向下凸的
过定点 （1，1） （0，0）,（1，1）
3
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