《北师大版（2019）高中数学必修第二册 重点题型训练》重点题型训练11：第5章复数（含答案）

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北师大版（新教材）高一必修 2重点题型 N11
复数
考试范围：复数的概念及集合意义、复数的四则运算、复数的三角表示；考试时间：
100 分钟；命题人：LEOG
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题型 1、复数概念的考察
1．实数 k为何值时，复数 z＝（k2﹣3k﹣4）+（k2﹣5k﹣6）i是：（1）实数；（2）虚数；
（3）纯虚数；（4）0．
【考点】虚数单位 i、复数．
【分析】利用复数 z＝a+bi 中，b＝0为实数；b≠0为虚数；a＝0且b≠0为纯虚数；a＝
b＝0，z＝0分别得到关于 k的方程解之．
【解答】解：（1）当 k2﹣5k﹣6＝0，即 k＝6或k＝﹣1时，z是实数．
（2）当 k2﹣5k﹣6≠0，即 k≠6且k≠﹣1时，z是虚数；
（3）当 k2﹣5k﹣6≠0，且 k2﹣3k﹣4＝0，z是纯虚数，即 k＝4时为纯虚数；
（4）当 k2﹣5k﹣6＝0，且 k2﹣3k﹣4＝0，即 k＝﹣1时，z是0．
【点评】本题考查了复数的基本概念；属于基础题．
2．求当实数 m为何值时， 分别是：
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数．
【考点】虚数单位 i、复数．
【分析】首先要使 有意义，则 m≠﹣3，
（1）当复数 z虚部等于 0时，为实数；
（2）当复数 z虚部不等于 0时，为虚数；
（3）当复数 z实部等于 0虚部不等于 0时，为纯虚数．
【解答】解：要使 有意义，则 m≠﹣3，
（1）当 ，即 m＝﹣2时，复数 z为实数；
（2）当 ，即 m≠﹣3且m≠﹣2时，复数 z为虚数；
（3）当 ，即 m＝3时，复数 z为纯虚数．
【点评】本题考查了复数的基本概念，是基础题．
3．含有参数形式的复数如：3m+9+（m2+5m+6）i，（m∈R）何时表示实数、虚数、纯虚
数？
【考点】虚数单位 i、复数．
【分析】此类问题涉及到复数的分类概念．当且仅当 b≠0时，z＝a+bi 为虚数，当且仅
当b＝0时为实数，当且仅当 a＝0，b≠0时为纯虚数，当且仅当 a＝0，b＝0时为 0．
【解答】解：复数 z＝3m+9+（m2+5m+6）i，
①m2+5m+6＝0，解得 m＝﹣2，或﹣3，因此 m＝﹣2，或﹣3，复数 z表示复数．
②由m2+5m+6≠0，解得 m≠﹣2，且﹣3，因此 m≠﹣2，且 m≠﹣3，复数 z表示虚数．
③由 ，无解，m取任何实数，复数 z不可能是纯虚数．
【点评】本题考查了复数的有关概念、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能
力，属于中档题．
4．若复数 z＝sinθ﹣+（cosθ﹣ ）i是纯虚数，则 tanθ的值为（　　）
A．B．﹣ C．D．﹣
【考点】虚数单位 i、复数．
【分析】复数 z＝sinθ﹣+（cosθ﹣ ）i是纯虚数，可得 sinθ﹣ ＝0，cosθ﹣ ≠0，
可得 cosθ，即可得出．
【解答】解：∵复数 z＝sinθ﹣+（cosθ﹣ ）i是纯虚数，
∴sinθ﹣ ＝0，cosθ﹣ ≠0，∴cosθ＝﹣ ．
则tanθ＝ ＝﹣ ．故选：B．
【点评】本题考查了纯虚数的定义、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算
能力，属于中档题．
5．复数 z＝（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，则 sinθcosθ＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C．D．
【考点】虚数单位 i、复数．
【分析】由复数 z的实部为 0且虚部不为 0求得 tanθ，再把 sinθcosθ转化为含有 tanθ的
代数式得答案．
【解答】解：∵复数 z＝（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，
∴ ，解得 tanθ＝2．
则sinθcosθ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查复数的基本概念，考查了三角函数的化简求值，是基础题．
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