《北师大版（2019）高中数学必修第二册 重点题型训练》重点题型训练8：平面向量及其应用（含答案）

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北师大版（新教材）高一必修 2重点题型 N8
平面向量及其应用
考试范围：平面向量的应用；考试时间：100 分钟；命题人：LEOG
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题型 1、利用正弦定理解三角形
1．△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 C＝60°，b＝ ，c＝3，则 A＝
75° 　 ．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】根据正弦定理和三角形的内角和计算即可
【解答】解：根据正弦定理可得 ＝ ，C＝60°，b＝ ，c＝3，
∴sinB＝ ＝ ，
∵b＜c，∴B＝45°，
∴A＝180°﹣B﹣C＝180°﹣45°﹣60°＝75°，故答案为：75°．
【点评】本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题
2．在三角形 ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，其中 a＝2，b＝2，B＝
，则边 c的长为　 4 　 ．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】利用余弦定理可得 c2﹣2c﹣8＝0，解方程即可得解 c的值．
【解答】解：在三角形 ABC 中，∵a＝2，b＝2，B＝ ，
∴由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2accosB，可得 12＝4+c2﹣2× ，
∴可得：c2﹣2c﹣8＝0，
∴解得 c＝4，或﹣2．故答案为：4．
【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想与计算能力，属于
基础题．
3．在△ABC 中，若 b＝1，c＝ ，则 a＝　 2 　 ．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】根据余弦定理 a2＝c2+b2﹣2c•bcosA的式子，结合题中数据加以计算，即可得
到边 a的值．
【解答】解：根据余弦定理 a2＝c2+b2﹣2c•bcosA，可得
a2＝（ ）2+12﹣2× ×cos ＝4
∴a＝2（舍负）故答案为：2
【点评】本题给出三角形的两边及其夹角大小，求第三边长．着重考查了利用余弦定理
解三角形的知识，属于基础题．
4．在△ABC 中，已知 B＝45°，C＝60°，AC＝10，则 AB 的长为　 　．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】由已知利用正弦定理即可得解．
【解答】解：∵在△ABC 中，已知 B＝45°，C＝60°，AC＝10，
∴由正弦定理可得：AB＝ ＝ ＝5．故答案为：5．
【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力，属于基础题．
5．在△ABC 中，若 a＝2，b＝2，A＝30°，则 B为（　　）
A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°
【考点】正弦定理．
【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得 B．
【解答】解：由正弦定理可知 ＝ ，
∴sinB＝ ＝
∵B∈（0，180°）∴∠B＝60°或120°故选：B．
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．运用正弦定理 a：b：c＝sinA：sinB：sinC来
解决边角之间的转换关系．属于基础题．
题型 2：利用余弦定理解三角形
1．△ABC 的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c．已知 a＝ ，c＝2，cosA＝ ，则 b＝
（　　）
A．B．C．2 D．3
【考点】余弦定理．
【分析】由余弦定理可得 cosA＝ ，利用已知整理可得 3b2﹣8b﹣3＝0，从
而解得 b的值．
【解答】解：∵a＝ ，c＝2，cosA＝ ，
∴由余弦定理可得：cosA＝ ＝ ＝ ，整理可得：3b2﹣8b﹣3＝0，
∴解得：b＝3或﹣ （舍去）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了
计算能力和转化思想，属于基础题．
2．设△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c．若 a＝2，c＝2，cosA＝ ．且 b
＜c，则 b＝（　　）
A．B．2 C．2 D．3
【考点】余弦定理．
【分析】运用余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bccosA，解关于 b的方程，结合 b＜c，即可得到 b
＝2．
【解答】解：a＝2，c＝2，cosA＝ ．且 b＜c，
由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bccosA，
即有 4＝b2+12﹣4 × b，解得 b＝2或4，
由b＜c，可得 b＝2．故选：B．
【点评】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题．
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