《北师大版（2019）高中数学必修第二册 重点题型训练》北师大版（新教材）高一必修2重点题型n13（含答案）

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北师大版（新教材）高一必修 2重点题型 N13
立体几何
考试范围：平行关系、垂直关系；考试时间：100 分钟；命题人：
题型 1、线面平行的判定与性质
1．如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，F为AC 中点．
（1）求证：AB1∥平面 BFC1．
（2）若此三棱柱为正三棱柱，且 ，求∠FBC1的大小；
【考点】直线与平面平行．
【分析】（1）取 A1C1中点 E，连接 B1E，EF，AE，推导出四边形 EFBB1是平行四边形，
进一步得到平面 AB1E∥平面 BFC1，再利用面面平行的性质，证明 AB1∥平面 BFC1即可．
（2）设 A1C1＝ ，则 AA1＝2，分别求出 BF，BC1，C1F，利用余弦定理能求出∠FBC1
的大小．
【解答】解：（1）证明：取 A1C1中点 E，连接 B1E，EF，AE，
∵在三棱柱中，E，F是中点，则 ，
∴四边形 EFBB1是平行四边形，∴B1E∥BF，
∵B1E⊄平面 BFC1，BF⊂平面 BFC1，
∴B1E∥平面 BFC1，
∵E，F是中点，∴ ，∴四边形 AFC1E是平行四边形，∴AE∥C1F，
∵AE⊄平面 BFC1，C1F⊂平面 BFC1，∴AE∥平面 BFC1，
∵B1E∩AE＝E，∴平面 AB1E∥平面 BFC1，
∵AB1⊂平面 AB1E，∴AB1∥平面 BFC1．
（2）设 A1C1＝ ，则 AA1＝2，
在正△ABC 中，BF＝ ＝ ，
在Rt△BCC1中，BC＝ ，CC1＝2，
∴ ∴
∴cos∠FBC1＝ ＝ ＝ ．
∴∠FBC1的大小为 arccos ．
【点评】本题考查线面平行的证明，角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间
的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
2．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，N，M，Q分别为 PB，PD，PC 的
中点．
（1）求证：QN∥平面 PAD；
（2）记平面 CMN 与底面 ABCD 的交线为 l，试判断直线 l与平面 PBD 的位置关系，并
证明．
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行．
【分析】（1）推导出 QN∥AD，由此能证明 QN∥平面 PAD；
（2）连接 BD，则 MN∥BD，从而 MN∥平面 ABCD，由线面平行的性质得 MN∥l，从
而BD∥l，由此能证明 l∥平面 PBD．
【解答】解：（1）证明：∵底面 ABCD 是菱形，N，M，Q分别为 PB，PD，PC 的中点．
∴QN∥BC，BC∥AD，∴QN∥AD，
∵QN⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD，
∴QN∥平面 PAD；
（2）直线 l与平面 PBD 平行，证明如下：
连接 BD，∵M，N分别为 PB，PD，PC 的中点，
∴MN∥BD，
∵BD⊂平面 ABCD，MN⊄平面 ABCD，
∴MN∥平面 ABCD，
∵平面 CMN 与底面 ABCD 的交线为 l，∴由线面平行的性质得 MN∥l，
∵MN∥BD，∴BD∥l，
∵C∈l，C∉BD，且 BD⊂平面 PBD，l⊄平面 PBD，
∴l∥平面 PBD．
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