《2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）》拓展四：三角形周长（定值，最值，范围）问题 (精讲）（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 55 4 2.14MB 40 页 3知币
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拓展四：三角形周长（定值，最值，范围）问题
目录
一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型 1：三角形周长（边长）（定值问题）
题型 2：三角形周长（边长）（最值问题）
题型 3：三角形周长（边长）（范围问题）
三、高考（模拟）题体验
一、必备知识分层透析
核心技巧 1：基本不等式（无约束条件的三角形）
利用基本不等式 ，在结合余弦定理求周长取值范围；
核心技巧 2：利用正弦定理化角（受约束的三角形，如：锐角三角形）
利用正弦定理 ， ，代入周长（边长）公式，化角，再结合辅助角公式，根据角
的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
二、重点题型分类研究
题型 1：三角形周长（边长）（定值问题）
典型例题
例题 1．（2022·四川眉山·统考一模）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由题意有 ，
即有 ，
由正弦定理得： ，
又 ，所以 ，则 ，所以 ；
（2）解：由（1）知 ，因为 ，且 的面积为 ，
由 得： ，所以 ，
由余弦定理得： ，所以 ，
所以 的周长为 .
例题 2．（2022 春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知 的内角 ， ， 所对的
边分别为 ， ， ， .
(1)求角 ；
(2)若 为 的中点，且 的面积为 ， ，求 的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 ，根据正弦定理可得 ，得
，得
，∵ ， ，
∴ ，∴ ，即 .
（2）根据题意可知， 的面积为 ，
故 ，解得 ；
在 中，利用余弦定理可得： ，
化简求解得： ，故 ，
在 和 中， ，
，因为 ，
不难求得： .
例题 3．（2022·上海宝山·统考一模）已知函数 ， .
(1)求函数 的单调增区间；
(2)在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，当 ， ，且三角形 的面积
为 时，求 .
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）由题意可得， .
由 ， 可得，
，.
所以，函数 的单调增区间为 .
（2）由（1）知， .
因为 ，所以 ， ，则 ， ，
又 是锐角，所以 ， ，解得 ，则 .
又 ， ，则 ，所以， .
根据余弦定理可得， ，所以 .
例题 4．（2022 春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知 中，角 的对边分别
为 ， ．
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 ．
【答案】(1)
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