《2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）》6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示+6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示+ 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 (精讲）（解析版）

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6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 (精讲）
目录
一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型 1:平面向量的正交分解及坐标表示
题型 2:平面向量的坐标运算
题型 3:由向量线性运算解决最值和范围问题
题型 4:利用坐标求模
题型 5:平面向量共线的判定与应用
题型 6:利用向量坐标解决平面几何问题
三、高考（模拟）题体验
一、必备知识分层透析
知识点 1：平面向量的正交分解
（1）把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
（2）在不共线的两个向量中,垂直是一种特殊的情形,向量的正交分解是向量分解常用且重
要的一种分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,会给问题的研究带来方便.
知识点 2：平面向量的坐标表示
（1）向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与 轴、 轴方向相同的两个不共线单位向量 、 作为基
底，
对于平面内的一个向 量 ， 由 平面向量 基 本 定理知， 有 且 只有一对 实 数 ， 使得
，则把有序数对 ，叫做向量 的坐标．记作 ，此式叫做向量
的坐标表示，其中 叫做 在 轴上的坐标， 叫做 在 轴上的坐标，
注意：①对于 ，有且仅有一对实数 与之对应
②两向量相等时，坐标一样
③， ，
④从原点引出的向量 的坐标 就是点 的坐标
（2）点的坐标与向量的坐标的关系
区别：①表示形式不同向量 中间用等号连接，而点 中间没有等号
②意义不同点 的坐标 表示点 在平面直角坐标系中的位置， 的坐
标 既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外 既可以表示点，也可以表示向
量，叙述时应指明点 或向量 .
联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.
知识点 3：平面向量的坐标表示
（1）两个向量和（差）的坐标表示
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.
坐标表示： ， 则：
；
（2）任一向量的坐标
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
， ，则 .
（3）向量数乘的坐标表示
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
坐标表示: ,则 .
知识点 4：平面向量共线的坐标表示
设 , ,其中 ,则 当且仅当存在唯一实数 ,使得
；
用坐标表示,可写为 ,即：
消去 得到： .
这就是说,向量 ( )共线的充要条件是 .
二、重点题型分类研究
题型 1:平面向量的正交分解及坐标表示
典型例题
例题 1．（2022·全国·高三专题练习）“勾 3 股 4 弦 5”是勾股定理的一个特例.根据记
载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾 3 股 4 弦 5”的问题，毕达哥拉斯发现勾
股定理早了 500 多年，如图，在矩形 中， 满足“勾 3 股 4 弦 5”，且 ，
为 上一点， .若 ，则 的值为（ùùùù）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意建立如图所示的直角坐标系，
因为 ， ，则 ， ， .
设 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，
解得 ，
由 ，得 ，
所以
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