《2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）》6.3.1 平面向量基本定理 (精讲）（原卷版）

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6.3.1 平面向量基本定理 (精讲）

一、必备知识分层透析

二、重点题型分类研究

题型 1:对基底的理解

题型 2：用基底表示向量

题型 3：用平面向量基本定理求参数

题型 4：平面向量基本定理的综合应用

题型 5：运用平面向量基本定理解决证明问题

三、高考（模拟）题体验

一、必备知识分层透析

知识点 1：平面向量基本定理

（1）平面向量基本定理

如果 , 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 ,

,使 .

若 , 不共线,我们把, 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

（2）对平面向量基本定理的理解

(1)这个定理告诉我们,平面内任意两个不共线向量都可以作为基底,一旦选定一组基底,则平面内的任一向

量都可用该组基底唯一表示.

(2)对于确定的基底 , ,同一向量的分解式是唯一的,不同向量的分解式是不同的.

(3)同一个非零向量在不同的基底下分解式是不同的,零向量的分解式是唯一的,即 ,且

(4)这个定理可推广为:平面内任意三个不共线的向量中,任何一个向量都可表示例示为其余两个向量的线

性组合,且形式唯一.

知识点 2：平面向量基本定理的有关结论

（1）设 , 是平面内一组基底，若，当时，与共线；当时，与

共线；当时，，同样的时， .

（2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则 .

二、重点题型分类研究

题型 1:对基底的理解

典型例题

例题 1．（2022·全国·高一假期作业）若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一

组基的是（––––）

A．与 B．与

C．与 D．与

例题 2．（2022 秋·河南新乡·高一新乡市第一中学校考阶段练习）已知，是平面内一组不共线的向

量，则下列四组向量中，不能做基底的是（––––）

A．与 B．与

C．与 D．与

例题 3．（多选）（2022 秋·广东韶关·高一校考期中）已知向量、不共线，则下列各组向量中，能

作平面向量的一组基底的有（––––）

A． B．

C． D．

同类题型演练

1．（2022 春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考开学考试）如果表示平面内所有向量的一

个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（）

A．B．

C．D．

2．（2022·高一课时练习）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（）

A．和 B．和

C．和 D．和

3．（多选）（2022·高一课时练习）已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是

（）

A．和 B．和 C．和 D．和

题型 2：用基底表示向量

典型例题

例题 1．（2022 春·广东江门·高二台山市第一中学期中）在中，为边上的中线，为

的中点，则（––––）

A． B． C． D．

例题 2．（2022 秋·四川绵阳·高一校考期末）在中，点在边上，且 .设，

，则可用基底，表示为（––––）

A． B．

C． D．

例题 3．（多选）（2022·浙江·模拟预测）如图，已知，点，满足，

，与交于点，交于点， .则（––––）

A． B．

C． D．

《2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）》6.3.1 平面向量基本定理 (精讲）（原卷版）

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