《2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）》6.3.1 平面向量基本定理 (精讲）（解析版）

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6.3.1 平面向量基本定理 (精讲）

一、必备知识分层透析

二、重点题型分类研究

题型 1:对基底的理解

题型 2：用基底表示向量

题型 3：用平面向量基本定理求参数

题型 4：平面向量基本定理的综合应用

题型 5：运用平面向量基本定理解决证明问题

三、高考（模拟）题体验

一、必备知识分层透析

知识点 1：平面向量基本定理

（1）平面向量基本定理

如果 , 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 ,

,使 .

若 , 不共线,我们把, 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

（2）对平面向量基本定理的理解

(1)这个定理告诉我们,平面内任意两个不共线向量都可以作为基底,一旦选定一组基底,则平面内的任一向

量都可用该组基底唯一表示.

(2)对于确定的基底 , ,同一向量的分解式是唯一的,不同向量的分解式是不同的.

(3)同一个非零向量在不同的基底下分解式是不同的,零向量的分解式是唯一的,即 ,且

(4)这个定理可推广为:平面内任意三个不共线的向量中,任何一个向量都可表示例示为其余两个向量的线

性组合,且形式唯一.

知识点 2：平面向量基本定理的有关结论

（1）设 , 是平面内一组基底，若，当时，与共线；当时，与

共线；当时，，同样的时， .

（2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则 .

二、重点题型分类研究

题型 1:对基底的理解

典型例题

例题 1．（2022·全国·高一假期作业）若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一

组基的是（––––）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】C

【详解】对于 A，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使

，即与不共线，A不选；

对于 B，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使

，即与不共线，B不选；

对于 C，假设存在实数，使，则，解得，即与共

线，选 C；

对于 D，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使

，即与不共线，D不选；

故选：C

例题 2．（2022 秋·河南新乡·高一新乡市第一中学校考阶段练习）已知，是平面内一组不共线的向

量，则下列四组向量中，不能做基底的是（––––）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】D

【详解】A选项：令，因为，不共线，所以，无实数解，所以与不共线，

故可以作为平面向量基底；

B选项：令，因为，不共线，所以，无实数解，所以与不共线，故可

以作为平面向量基底；

C选项：令，因为，不共线，所以，无实数解，所以与不共线，

故可以作为平面向量基底；

D选项：易知，即与共线，不能作为平面向量基底.

故选：D

例题 3．（多选）（2022 秋·广东韶关·高一校考期中）已知向量、不共线，则下列各组向量中，能

作平面向量的一组基底的有（––––）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【详解】因为向量、不共线，对于 A选项，设、共线，可设，

可得出，无解，所以，、不共线，A中的向量能作基底，

同理可知 CD 选项中的向量也可作平面向量的基底，

对于 B选项，因为，所以，

所以不能作平面向量的基底．

故选：ACD.

《2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）》6.3.1 平面向量基本定理 (精讲）（解析版）

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