《2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）》6.2.3 向量的数乘运算 (精讲）（解析版）

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6.2.3 向量的数乘运算 (精讲）
目录
一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型 1: 几何图形中用已知向量表示未知向量
题型 2：向量共线的判定
题型 3：利用向量共线证明线线平行
题型 4：利用向量共线定理判断三点共线
题型 5：利用向量共线定理求参数
三、高考（模拟）题体验
一、必备知识分层透析
知识点 1：向量的数乘
（1）向量数乘的定义
一般地,我们规定实数 与向量 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 .它的长度与方向规
定如下：
①
②当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时，
.
（2）向量数乘的几何意义
对于 ：①从代数角度看， 是实数， 是向量，它们的积仍然是向量． 的条件是 或 ．
②从几何的角度看，对于长度来说，当 时，意味着表示向量 的有向线段在原方向 或相反方
向 上伸长了 倍；当 时，意味着表示向量 的有向线段在原方向 或反方向
上缩短了 倍．
实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如 ， 都无意义．
（3）向量数乘的运算律
实数与向量的积满足下面的运算律：设 、 是实数， 、 是向量，则：
①结合律：
②第一分配律：
③第二分配律：
知识点 2：向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量 , ,以及任意实数 , , ,恒有 .
知识点 3：向量共线定理
（1）内容：向量 与非零向量 共线，则存在唯一一个实数 ， .
（2）向量共线定理的注意问题：
①定理的运用过程中要特别注意 ．
特别地，若 ，实数 仍存在，但不唯一．
②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数 沟通了两个向量 与 的关
系．
③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确
定两个向量，看能否找到唯一的实数 使向量相等即可．
二、重点题型分类研究
题型 1: 几何图形中用已知向量表示未知向量
典型例题
例题 1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方形 中，点 是 的中点，点 满足
，那么
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：在 中， .
因为点 为 的中点，所以 .
因为点 为 的一个三等分点，所以 ，
所以 ，
故选：C.
例题 2．（2022 春·黑龙江哈尔滨·高二校考期中）在 中， ， ， ， 为
的中点，则 等于（ìììì）
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