《2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）》6.1 平面向量的概念 (精讲）（原卷版）

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6.1 平面向量的概念 (精讲）

6.1.1 向量的实际背景与概念

6.1.2 向量的几何表示

6.1.3 相等向量与共线向量

一、必备知识分层透析

二、重点题型分类研究

题型 1：向量的有关概念

题型 2：向量的几何表示

角度 1：向量的模

角度 2：零向量与单位向量

题型 3：相等向量与共线向量

角度 1：相等向量

角度 2：平行向量（共线向量）

一、必备知识分层透析

知识点 1：向量的概念

（1）向量

在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.

①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.

②向量与向量之间不能比较大小.

（2）数量

只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积体积、质量等

（3）向量与数量的区别

①向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不

能比较大小

②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出来的,但在这里我

们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性(如

“力”就是由大小方向、作用点所决定的).

知识点 2：向量的几何表示

(1)有向线段

具有方向的线段叫做有向线段

①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以为起点、为终点的有向线段

记作 (如图所示),线段的长度也叫做有向线段的长度,记作 . 表示有向线段时,起点一定要写

在终点的前面,上面标上箭头.

②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了.

（2）向量的表示

①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.

②字母表示:向量可以用字母 , , ,…表示

（3）向量的模

向量的大小称为向量的长度(或称模),记作 .

（4）两种特殊的向量

零向量:长度为 0 的向量叫做零向量,记作 .

单位向量:长度等于 1 个单位长度的向量,叫做单位向量

①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.

②要注意 0 与的区别与联系:0 是一个实数, 是一个向量,且有；书写时表示零向量,一定不能漏掉

0 上的箭头.

③单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同.

④在平面内,将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为 1 的圆.

知识点 3：相等向量与共线向量

(1)平行向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作 .规定:零向量与任意向量平行,即对

于任意向量 ,都有 .

(2)相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

向量与相等,记作 .两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方向

和模确定,故任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.

（3）共线向量

任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线.

共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量.

二、重点题型分类研究

题型 1：向量的有关概念

典型例题

例题 1．（2022·高一课时练习）下列四个命题正确的是（êêêê）

A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量

C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同

例题 2．（2022·全国·高一专题练习）下列命题中，正确的是

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

例题 3．（2022·全国·高一假期作业）有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相

同；②若，则； ③若，则四边形是平行四边形； ④若，，

则；⑤若，，则； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命

题的个数êêê

A． B． C． D．

《2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）》6.1 平面向量的概念 (精讲）（原卷版）

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