《2023学年高一数学精品教学课件（沪教版2020选修第一册）》4.4数学归纳法的应用（第2课时）（作业）（夯实基础+能力提升）（解析版）

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4.4 数学归纳法的应用（第 2课时）（作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、填空题
1．（上海市嘉定区封浜高级中学高二期中）用数学归纳法证明等式“
”时，从 到 时，等式左边需要增加的是______.
【答案】
【分析】由数学归纳法可知 时,左端为 ,到 时,左端
,从而可得解..
【详解】用数学归纳法证明等式 时,
当 时，左边所得的项是 ;
假设 时,命题成立,左端为 ;
则当 时,左端为 ,
所以从“ ”需增添的项是 .
故填: .
【点睛】本题考查数学归纳法证明的第二步：归纳递推, 从“ ”需将“ ”代入所需证明的表
达式中，明确其具体含义，是个易错点，属于中档题.
2．（2020·上海·高二课时练习）用数学归纳法证明 34n
＋
2＋52n
＋
1能被 14 整除的过程中，当 n＝k＋1时，
34(k
＋
1)
＋
2＋52(k
＋
1)
＋
1应变形为______.
【答案】25(34k
＋
2＋52k
＋
1)＋56×34k
＋
2
【分析】证明 34n
＋
2＋52n
＋
1能被 14 整除的过程中，将 n＝k＋1代入，化简可得答案．
【详解】当 n＝k＋1时，34(k
＋
1)
＋
2＋52(k
＋
1)
＋
1＝81×34k
＋
2＋25×52k
＋
1＝25(34k
＋
2＋52k
＋
1)＋56×34k
＋
2.
故答案为：25(34k
＋
2＋52k
＋
1)＋56×34k
＋
2
二、解答题
3．（2022·上海虹口·高二期末）在数列 ， 中， ，且当 （ 为正整数）时，
， ．
(1)计算 ， ， ， ， ， 的值，并猜测数列 ， 的通项公式；
(2)用数学归纳法证明（1）中的猜测．
【答案】(1) ， ； ， ； ， ；猜测：数列 的通项公式为 （
为正整数）；数列 的通项公式为 （ 为正整数）
(2)证明见解析
【分析】（1）分别令 ，结合题意代入求解，并根据所求结果猜想数列 ， 的通项公式；
（2）根据数学归纳法证明，注意 时的运算说明．
(1)令 ，则
令 ，则
令 ，则
猜想数列 的通项公式为 （ 为正整数）；数列 的通项公式为 （ 为正整数）
(2)当 时， 成立
假定当 时， 成立
当 时，则
即 成立
∴数列 ， 的通项公式分别为： ， （ 为正整数）．
4．（2020·上海·高二课时练习）用数学归纳法证明： ．
【分析】先检验当 时， ，等式成立，假设当 时，等式成立，即
，通过这个结论证明当 时，等式也成立即可得证.
【详解】当 时， ，等式成立，
假设当 时，等式成立，即
则当 时，
，原等式仍然成立，
所以
【点睛】此题考查利用数学归纳法证明等式成立，关键在于熟练掌握数学归纳法证明步骤，根据步骤准确
辨析.
5．（2020·上海·上外附中高二期末）按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是： ；即
3，5，第三行是： 即 4，6，6，8； （即从第二行起将上一行的数的每一项各
项加 1写出，再各项加 3写出）
2
3 5
4 6 6 8
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