《2023学年高一数学精品教学课件（沪教版2020选修第一册）》3．4空间向量在立体几何中的应用（作业）（夯实基础+能力提升）（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 25 4 7.81MB 46 页 3知币
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3．4空间向量在立体几何中的应用（作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、填空题
1．（2022·上海市延安中学高二期中）三棱锥 中， 且 ，若点 、 分别为
棱 、 中点，那么线段 的长为______.
【答案】
【分析】取 的中点 ，连接 ，由题意可得 ，再由勾股定理即可得出答案.
【详解】取 的中点 ，连接 ，
在三角形 中， 分别为 的中点，所以 ， ，
同理 ， ，因为 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
2．（2022·上海市实验学校高二期中）如图的空间直角坐标系中， 垂直于正方形 所在平面，
与平面 的所成角为 ，E为 中点，则平面 的单位法向量 ______．（用坐标表
示）
【答案】
【分析】根据给定条件，借助线面角求出 DP 长，并求出点 A，B，P的坐标，再利用空间向量求出平面
的单位法向量作答.
【详解】如图，连接 BD，因 平面 ，则 是与平面 所成的角，即 ，
在正方形 中， ，而 ，则有 ，
于是得 ，PB 中点 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，得 ，
与 共线的单位向量为 ，
所以平面 的单位法向量 .
故答案为：
3．（2021·上海·闵行中学高二期中）在三棱锥 中，设向量 ， ，
，则顶点 到底面 的距离为______．
【答案】
【分析】求出平面 的一个法向量 ，利用点到平面的距离公式 即可求解.
【详解】因为 ， ，
设平面 的一个法向量 ，
由 ，令 ，则 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以点 到底面 的距离为 ，
故答案为： .
4．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）已知平面 经过点 ，且 的法向量
，则 到平面 的距离为___________.
【答案】
【解析】求出 在法向量方向的投影，投影的绝对值即为距离．
【详解】由已知 ，则 在法向量 方向的投影为 ，
所以 到平面 的距离为 ．
故答案为： ．
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