《2023学年高二数学下学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第三册）》数学探究：杨辉三角的性质与应用(数学阅读+精讲）（解析版）

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数学探究：杨辉三角的性质与应用 (数学阅读+精讲）
目录
一、杨辉三角形相关知识阅读
二、重点题型分类研究
题型 1: 二项展开式的系数问题
题型 2：杨辉三角的有关问题
题型 3：求二项展开式中的最大项问题
题型 4：二项式定理的应用
三、高考（模拟）题体验
相关知识阅读
杨辉三角的历史沿革
北宋人贾宪约 1050 年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算．
杨辉，字谦光，南宋时期杭州人．在他 1261 年所著的《详解九章算法》一书中，记录了如上所示的三
角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自 11 世纪中叶(约公元 1050 年)贾宪的《释锁算
术》，
并绘画了“古法七乘方图”．故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”．
元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》(1303 年)扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”．
意大利人称之为“塔塔利亚三角形”(Triangolo di Tartaglia)以纪念在 16 世纪发现一元三次方程解
的塔塔利亚．
在欧洲直到 1623 年以后，法国数学家帕斯卡在 31 岁时发现了“帕斯卡三角”．
布莱士·帕斯卡的著作 Traité du triangle arithmétique(1655 年)介绍了这个三角形．帕斯卡搜集
了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de
Montmort(1708
年)和亚伯拉罕·棣·美弗(1730 年)都用帕斯卡来称呼这个三角形．
21 世纪以来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese
triangle)
历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家有：
贾宪　中国北宋　11 世纪　《释锁算术》
杨辉　中国南宋 1261　《详解九章算法》　记载之功
朱世杰　中国元代　1299　《四元玉鉴》　级数求和公式
阿尔·卡西　阿拉伯　1427　《算术的钥匙》
阿皮亚纳斯　德国　1527
米歇尔．斯蒂费尔　德国　1544　《综合算术》　二项式展开式系数
薛贝尔　法国　1545
B·帕斯卡　法国　1654　《论算术三角形》
其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位．中国古代数学史曾经
有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页.
数学之美：杨辉三角(帕斯卡三角)的奇特性质
杨辉三角(也称帕斯卡三角)相信很多人都不陌生，它是一个无限对称的数字金字塔，从顶部的单个 1
开始，下面一行中的每个数字都是上面两个数字的和．
杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九
章算法》一书中出现．在欧洲，帕斯卡(1623—1662)在 1654 年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三
角形．帕斯卡的发现比杨辉要迟 393 年，比贾宪迟600 年．
就是这个看上去平平无奇的数字三角形，却有一些非常奇妙甚至是神秘的特性:
1．最外层的数字始终是 1
2．第二层是自然数列
3．第三层是三角数列
什么是三角数列，看一下图就明白了，这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形．
4．三角数列相邻数字相加可得方数数列
什么又是方数数列呢？雷同与三角数列，就是它的数字始终可以组成一个完美的正方形．
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