《2023学年高二数学下学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第三册）》第六章计数原理全章题型大总结(精讲）（解析版）

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第六章 计数原理 全章总结 (精讲）
目录
一、数学思想方法
1、分类讨论思想
2、整体思想
3、 主元思想
4、“正难则反”思想
5、函数思想
二、重点题型精讲
题型 1：两个计数原理的综合应用
角度 1：实际问题中的计数问题
角度 2：代数中的计数问题
角度 3：几何计数问题
角度 4：数字排列问题
角度 5：涂色问题
题型 2：排列应用题
角度 1：全排列问题
角度 2：元素位置有限制问题
角度 3：相邻与不相邻问题
题型 3：组合应用题
角度 1：分组分配问题
角度 2：几何组合计数问题
题型 4：二项式定理
角度 1：二项式系数
角度 2：项的系数
角度 3：二项式定理的应用
一、数学思想方法
1、分类讨论思想
分类讨论思想是一种高级的解题技巧,就是把一个复杂的问题,通过正确的划分,转化为若干个小问题
各个击破,这是我们解决问题时最常用到的策略,相当一部分排列组合的问题需要分类讨论来求解,值得注
意的是,分类时要做到明确分类标准,不重不漏.
1．（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域
E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围 ABCD 四个区域中种植鲜花，现有四个品种的
鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（）
A．12 B．24 C．48 D．84
【答案】D
【详解】由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分一下三类：
当种植的鲜花为两种时： 和 相同， 和 相同，共有 种种植方法；
当种植鲜花为三种时： 和 相同或 和 相同，此时共有 种种植方法；
当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有 种种植方法，
综上：则不同的种植方法的种数为 种，
故选： .
2．（2022 春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）某班级计划安排学号为 1～9的九名同学中的
某5位，分别担任周一至周五的值日生，要求学号为奇数的同学不能安排在周一、周三、周五三天值日，
则不同的安排方法有__________种．(用数字作答)
【答案】720
【详解】第一类：当学号为偶数的同学有 3位时，有 ；
第二类：当学号为偶数的同学有 4位时，有 ；
所以不同的安排方法有 种，
故答案为：720.
3．（2022 春·辽宁沈阳·高二同泽高中校考阶段练习）某校三位同学报名参加数、理、化、生四门学科竞
赛，每人必须报两门，由于数学是该校优势学科，所以至少有两人参赛，若要求每门学科都要有人报名，
则不同的参赛方案有______种
【答案】51
【详解】若三人有两人报名数学竞赛，并且两人选报的学科都相同，则共有 种情况，
若这两个人选报的另外的学科不同，则共有 种情况，
若三个人全部都报名数学竞赛，则共有 种情况，
所以不同的参赛方案有： 种情况，
故答案为：51
4．（2022 春·辽宁沈阳·高二同泽高中校考阶段练习）有 6名男运动员，4名女运动员，其中男、女队长各
1名，选派4人外出比赛，既要有队长，又要有女运动员，选派方法有______种
【答案】130
【详解】①只有男队长，没有女队长：
种，
②只有女队长，没有男队长：
种，
③男、女队长都有，
种，
所以共有 46+56+28=130 种.
故答案为：130.
5．（2022 秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期末）（1）用 1、2、3、4、5可以组成多少个四
位数？
（2）用 0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
【答案】（1）若组成的四位数的数字不能重复，可组成120 个四位数；若组成的四位数的数字能重复，可
组成625 个四位数
（2）156 个
【详解】解：（1）①若组成的四位数的数字不能重复，则可组成的四位数有：
（个）
②若组成的四位数的数字能重复，则可组成的四位数有： （个）
综上所述，结论是：若组成的四位数的数字不能重复，可组成120 个四位数；若组成的四位数的数字能重
复，可组成625 个四位数.
（2）满足偶数按个位数字分成三类：个位是 0或2或4，
①个位是 0的，即需要从1，2，3，4，5这5个数中选出3个分别放在千、百、十位，
有 个；
②个位是 2的，千位需要从1，3，4，5这4个数中选出1个有 4种选法，从剩下的 4个数字中选出2个分
别放在百位、十位，有 个，所以个位是 2的偶数有 个；
③个位是 4的，也有48 个；
综上所述，用 0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位偶数有 个.
2、整体思想
有时,研究局部问题若能有意识地放大问题的“视角”,将需要解决的问题看作一个整体,通过研究问
题的整体形式、整体结构,从而使问题获解,这就是整体思想本章的整体思想,就是将某些有特殊要求的元
素(如相邻等)看作一个整体参与排列.
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