《2023学年高二数学下学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第三册）》6.3.1二项式定理+6.3.2二项式系数的性质(精讲）（解析版）

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6.3.1 二项式定理+6.3.2 二项式系数的性质 (精讲）
目录
一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型 1：求 型的展开式
题型 2：二项展开式的逆用
题型 3：二项展开式中的特定项或特定系数问题
题型 4：三项展开式中的特定项或特定系数问题
题型 5：几个二项式的和或积的展开式中的特定项或特定系数问题
题型 6：系数最大项问题
题型 7：赋值法解决系数和问题
题型 8：有关整除或求余问题
三、高考（模拟）题体验
一、必备知识分层透析
知识点 1：知识链接
（1）
（2）
知识点 2：二项式定理及相关概念
（1）二项式定理
一般地，对于每个 （ ）， 的展开式中 共有 个，将它们合并同类
项，就可以得到二项展开式：
(a+b)n=Cn
0anb0+Cn
1an−1b1+Cn
2an−2b2+⋯+Cn
ran−rbr+⋯+Cn
na0bn
（
）.这个公式叫做二项式定理.
（2）二项展开式
公式中：
(a+b)n=Cn
0anb0+Cn
1an−1b1+Cn
2an−2b2+⋯+Cn
ran−rbr+⋯+Cn
na0bn
， 等号右边的
多项式叫做 的二项展开式.
（3）二项式系数与项的系数
二项展开式中各项的二项式系数为 ( ),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符
号等.
（4）二项式定理的三种常见变形
①
②
③
知识点 3：二项展开式的通项
二项展开式中的 ( )叫做二项展开式的通项,用 表示,即通项为展开式的第
项: .通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,
它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面
有着广泛的应用.
知识点 4：二项式展开式中的最值问题
（1）二项式系数的性质
①每一行两端都是 ，即 ；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即 ．
②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 ．
③增减性：当 时，二项式系数递增，当 时，二项式系数递减；
④二项式系数和令 ，则二项式系数的和为 ，变形式
．
⑤奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令 ，
则 ，从而得到：
．
⑥最大值：如果二项式的幂指数 是偶数，则中间一项 的二项式系数 最大；
如果二项式的幂指数 是奇数，则中间两项 ， 的二项式系数 ， 相等且最大．
（2）系数的最大项
求 展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为 ，设第
项系数最大，应有 ，从而解出 来．
知识点 5：二项式展开式中系数和有关问题
常用赋值举例：
（1）设
 
0 1 1 2 2 2
nn n n r n r r n n
n n n n n
a b C a C a b C a b C a b C b
 
   ⋯ ⋯
，
二项式定理是一个恒等式，即对 ， 的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取 ， 的
值．
①令
1a b 
，可得：
0 1
2n n
n n n
C C C  ⋯
②令 ，可得：
 
0 1 2 3
0 1 nn
n n n n n
C C C C C  ⋯
，即：
0 2 1 3 1n n
n n n n n n
C C C C C C
   ⋯ ⋯
（假设
为偶数），再结合①可得：
0 2 1 3 1 1
2
n n n
n n n n n n
C C C C C C  
    ⋯ ⋯
．
（2）若 ，则
①常数项：令 ，得 ．
②各项系数和：令 ，得 ．
③奇数项的系数和与偶数项的系数和
（i）当 为偶数时，奇数项的系数和为 ；
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