《2023学年高二数学下学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第三册）》6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(精讲）（解析版）

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6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (精讲）

一、必备知识分层透析

二、重点题型分类研究

题型 1: 利用分类加法计数原理解题

题型 2：利用分步乘法计数原理解题

题型 3：两个计数原理的综合应用

题型 4：选（抽）取与分配问题

题型 5：用计数原理解决组合数问题

题型 6：用计数原理解决涂色（种植）问题

三、高考（模拟）题体验

一、必备知识分层透析

知识点 1：分类加法计数原理

（1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有种不同的方法,在第 2 类方案中有种不同

的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.

（2）推广：如果完成一件事情有类不同方案,在第 1 类方案中有种不同的方法,在第 2 类方案中有

种不同的方法,……在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同

的方法.

知识点 2：分步乘法计数原理

（1）定义：完成一件事需要两个步骤,做第 1 步有种不同的方法,做第 2 步有种不同的方法,那么完成

这件事共有种不同的方法.

（2）推广：完成一件事需要个步骤,做第 1 步有种不同的方法,做第 2 步有种不同的方法,……做

第步有种不同的方法,则完成这件事共有种不同的方法.

知识点 3：两个计数原理的联系与区别

联系：分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题.

区别：①分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做

完这件事.

②分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有每一个步骤都完成才算做完

这件事.

二、重点题型分类研究

题型 1: 利用分类加法计数原理解题

典型例题

例题 1．（2022 秋·天津河东·高二统考期中）书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本

不同的文艺书，第 3 层放有 2 本不同的体育书.从书架上任取 1 本书，不同的取法有(››››)

A．3 种 B．6 种 C．9 种 D．24 种

【答案】C

【详解】根据题意可得从书架上任取 1本书，有种不同的取法．

故选：C．

例题 2．（2022 秋·甘肃天水·高二秦安县第一中学校考期中）某班有男生 13 人，女生 17 人，从中选一

名同学为数学课代表，则不同的选法的种数有（››››）

A．121 B．13 C．30 D．17

【答案】C

【详解】由分类加法计数原理可知，共有 13+17=30 种选法

故选：C

例题 3．（2022 春·上海嘉定·高二校考期中）已知，，若满足，则称，

“心有灵犀”．则， “心有灵犀”的情形共有_______．

【答案】28 种

【详解】当 a为0时，b只能取 0，1两个数；

当a为9时，b只能取 8，9两个数；

当a为其它数时，b都可以取三个数，例如时，可取 .

综上，一共有种情形.

故答案为：28 种

例题 4．（2022·全国·高三专题练习）如图，将钢琴上的 12 个键依次记为设

．若且，则称为原位大三和弦；若且，则称为原位小三和

弦．用这 12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为__________．

【答案】10

【详解】若且，则符合条件的分别为：

，共 5个原位大三和弦；

若且，则符合条件的分别为：

，共 5个原位小三和弦；

故用这 12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 10.

故答案为：10.

《2023学年高二数学下学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第三册）》6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(精讲）（解析版）

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